2021考研数学 高数第五章 定积分与反常积分

1. 背景

前段时间复习完了高数第五章的内容,我参考《复习全书·基础篇》和老师讲课的内容对这一章的知识点进行了整理,形成了这篇笔记,方便在移动设备上进行访问和后续的补充修改。

2. 定积分

2.1. 定积分的定义

  • 定义:

abf(x)dx=limλ0i=1nf(ξi)Δxi \int_a^{b} {f(x)} dx = \lim\limits_{\lambda \to 0}{\sum_{i = 1}^n{f(\xi_i)\Delta x_i}}

其中λ=max{Δxi},i[1,n]\lambda = max\{\Delta x_i\}, i\in [1, n]ξi\xi_i为在[xi1,xi][x_{i - 1}, x_i]上任取的一点。

  • 利用定积分求极限:

若积分01f(x)dx\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) dx 存在,将[0,1][0, 1]区间等分,此时Δxi=1n\Delta x_i = \dfrac{1}{n}, 取 ξi=1n\xi_i = \dfrac{1}{n}, 由定积分的定义得

01f(x)dx=limλ0i=1nf(ξi)Δxi=limnf(in) \int_0^{1} {f(x)} dx = \lim\limits_{\lambda \to 0}{\sum_{i = 1}^n{f(\xi_i)\Delta x_i}} = \lim\limits_{n \to \infty}{f(\frac{i}{n})}

2.2. 定积分的性质

2.3. 积分上限函数

  • 定义:

变上限的积分abf(x)dx\displaystyle \int_a^{b} {f(x)} dx是其上限的函数,常称之为积分上限函数。

  • 定理:

如果f(x)f(x)在区间[a,b][a, b]上连续,则

(axf(t)dt)=f(x) ( \int_{a}^{x} f(t) dt )' = f(x)

如果$ f(x) [a, b]上的连续函数,\varphi_1(x), \varphi_2(x)$为可导函数,则

(φ1(x)φ2(x)f(t)dt)=f[φ2(x)]φ2(x)f[φ1(x)]φ1(x) ( \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(t) dt )' = f[ \varphi_2(x) ] \cdot \varphi_2'(x) - f[ \varphi_1(x) ] \cdot \varphi_1'(x)

2.4. 定积分的计算

2.4.1. 牛顿-莱布尼茨公式

f(x)f(x)[a,b][a, b]上连续,F(x)F(x)f(x)f(x)[a,b][a, b]上的一个原函数,则有

abf(x)dx=αβf[φ(t)]φ(t)dt \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{\alpha}^{\beta} f[\varphi(t)] \varphi'(t) dt

2.4.2. 换元积分法

2.4.3. 分部积分法

abudv=uvababvdu \int_{a}^{b} u dv = uv \Big|_a^b - \int_{a}^{b} v du

2.4.4. 利用奇偶性和周期性

2.4.5. 利用已有公式

3. 反常积分

3.1. 无穷区间上的反常积分

定义

  1. f(x)f(x)[a,][a, \infty] 上的连续函数,如果极限 limt+atf(x)dx\displaystyle\lim\limits_{t \to +\infty} \int_{a}^{t} {f(x)}dx 存在,则称此极限为函数 f(x)在无穷区间 [a,][a, \infty] 上的反常积分,记作 a+f(x)dx\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) dx,即

a+f(x)dx=limt+atf(x)dx \int_{a}^{+\infty} f(x) dx = \lim\limits_{t \to +\infty} \int_{a}^{t} {f(x)}dx

这时也称反常积分 a+f(x)dx\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) dx 收敛,如果上述极限不存在,则称反常积分 a+f(x)dx\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) dx 发散

  1. f(x)f(x)[,b][-\infty, b] 上的连续函数,则可类似的定义函数 f(x)f(x) 在无穷区间[,b][-\infty, b] 上的反常积分

bf(x)dx=limtatf(x)dx \int_{-\infty}^{b} f(x) dx = \lim\limits_{t \to -\infty} \int_{a}^{t} {f(x)}dx

  1. f(x)f(x)[,+][-\infty, +\infty] 上的连续函数,如果反常积分

0f(x)dx0+f(x)dx \int_{-\infty}^{0} f(x) dx \text{和} \int_{0}^{+\infty} f(x) dx

都收敛,则称反常积分 +f(x)dx\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx 收敛,且

+f(x)dx=0f(x)dx+0+f(x)dx \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \int_{-\infty}^{0} f(x) dx + \int_{0}^{+\infty} f(x) dx

如果至少有一个发散,则称 +f(x)dx\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx 发散


常用结论

a+1xpdx{p>1,发散p1,收敛,(a>0) \int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx {\left\{ \begin{aligned} p > 1 & , \text{发散} \\ p \le 1 & , \text{收敛} \\ \end{aligned}\right. }, (a>0)

3.2. 无界函数的反常积分

如果函数 f(x)f(x) 在点 aa 的任一邻域内都无界,那么点 aa 称为 函数 f(x)f(x) 的瑕点(也称为无界点)。无界函数的反常积分也称为瑕积分

定义

  1. f(x)f(x)(a,b](a, b] 上连续,点 aa 为函数的瑕点。如果极限 limta+tbf(x)dx\displaystyle\lim\limits_{t \to a^+} \int_{t}^{b} {f(x)}dx存在,则称此极限为函数 f(x)在无穷区间 [a,b][a, b] 上的反常积分,记作 abf(x)dx\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) dx,即

abf(x)dx=limta+tbf(x)dx \int_{a}^{b} f(x) dx = \lim\limits_{t \to a^+} \int_{t}^{b} {f(x)}dx

这时也称反常积分 a+f(x)dx\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) dx 收敛,如果上述极限不存在,则称反常积分 a+f(x)dx\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) dx 发散

  1. f(x)f(x)[a,b)[a, b) 上连续,点bb 为函数 f(x)f(x) 的瑕点。则可类似的定义函数 f(x)f(x) 在区间 [a,b][a, b] 上的反常积分

abf(x)dx=limta+tbf(x)dx \int_{a}^{b} f(x) dx = \lim\limits_{t \to a^+} \int_{t}^{b} {f(x)}dx

  1. f(x)f(x)[a,b)[a, b) 上除 cc 点外连续,点cc 为函数 f(x)f(x) 的瑕点。则可类似的定义函数 f(x)f(x) 在区间 [a,b][a, b] 上的反常积分

acf(x)dxcbf(x)dx \int_{a}^{c} f(x) dx \text{和} \int_{c}^{b} f(x) dx

都收敛,则称反常积分 abf(x)dx\int_{a}^{b} f(x) dx 收敛,且

abf(x)dx=acf(x)dx+cbf(x)dx \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx

如果至少有一个发散,则称 abf(x)dx\int_{a}^{b} f(x) dx 发散


常用结论

ab1(xa)pdx{p<1,发散p1,收敛 \int_{a}^{b} \frac{1}{(x-a)^p} dx {\left\{ \begin{aligned} p < 1 & , \text{发散} \\ p \ge 1 & , \text{收敛} \\ \end{aligned}\right. }

ab1(bx)pdx{p<1,发散p1,收敛 \int_{a}^{b} \frac{1}{(b-x)^p} dx {\left\{ \begin{aligned} p < 1 & , \text{发散} \\ p \ge 1 & , \text{收敛} \\ \end{aligned}\right. }

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