1. 背景
前段时间复习完了高数第五章的内容,我参考《复习全书·基础篇》和老师讲课的内容对这一章的知识点进行了整理,形成了这篇笔记,方便在移动设备上进行访问和后续的补充修改。
2. 定积分
2.1. 定积分的定义
∫abf(x)dx=λ→0limi=1∑nf(ξi)Δxi
其中λ=max{Δxi},i∈[1,n],ξi为在[xi−1,xi]上任取的一点。
若积分∫01f(x)dx 存在,将[0,1]区间等分,此时Δxi=n1, 取 ξi=n1, 由定积分的定义得
∫01f(x)dx=λ→0limi=1∑nf(ξi)Δxi=n→∞limf(ni)
2.2. 定积分的性质
2.3. 积分上限函数
变上限的积分∫abf(x)dx是其上限的函数,常称之为积分上限函数。
如果f(x)在区间[a,b]上连续,则
(∫axf(t)dt)′=f(x)
如果$ f(x) 为[a, b]上的连续函数,\varphi_1(x), \varphi_2(x)$为可导函数,则
(∫φ1(x)φ2(x)f(t)dt)′=f[φ2(x)]⋅φ2′(x)−f[φ1(x)]⋅φ1′(x)
2.4. 定积分的计算
2.4.1. 牛顿-莱布尼茨公式
设f(x)在[a,b]上连续,F(x)为f(x)在[a,b]上的一个原函数,则有
∫abf(x)dx=∫αβf[φ(t)]φ′(t)dt
2.4.2. 换元积分法
2.4.3. 分部积分法
∫abudv=uv∣∣∣ab−∫abvdu
2.4.4. 利用奇偶性和周期性
2.4.5. 利用已有公式
3. 反常积分
3.1. 无穷区间上的反常积分
定义:
- 设 f(x) 为 [a,∞] 上的连续函数,如果极限 t→+∞lim∫atf(x)dx 存在,则称此极限为函数 f(x)在无穷区间 [a,∞] 上的反常积分,记作 ∫a+∞f(x)dx,即
∫a+∞f(x)dx=t→+∞lim∫atf(x)dx
这时也称反常积分 ∫a+∞f(x)dx 收敛,如果上述极限不存在,则称反常积分 ∫a+∞f(x)dx 发散。
- 设 f(x) 为 [−∞,b] 上的连续函数,则可类似的定义函数 f(x) 在无穷区间[−∞,b] 上的反常积分
∫−∞bf(x)dx=t→−∞lim∫atf(x)dx
- 设 f(x) 为 [−∞,+∞] 上的连续函数,如果反常积分
∫−∞0f(x)dx和∫0+∞f(x)dx
都收敛,则称反常积分 ∫−∞+∞f(x)dx 收敛,且
∫−∞+∞f(x)dx=∫−∞0f(x)dx+∫0+∞f(x)dx
如果至少有一个发散,则称 ∫−∞+∞f(x)dx 发散。
常用结论:
∫a+∞xp1dx{p>1p≤1,发散,收敛,(a>0)
3.2. 无界函数的反常积分
如果函数 f(x) 在点 a 的任一邻域内都无界,那么点 a 称为 函数 f(x) 的瑕点(也称为无界点)。无界函数的反常积分也称为瑕积分。
定义:
- 设 f(x) 在 (a,b] 上连续,点 a 为函数的瑕点。如果极限 t→a+lim∫tbf(x)dx存在,则称此极限为函数 f(x)在无穷区间 [a,b] 上的反常积分,记作 ∫abf(x)dx,即
∫abf(x)dx=t→a+lim∫tbf(x)dx
这时也称反常积分 ∫a+∞f(x)dx 收敛,如果上述极限不存在,则称反常积分 ∫a+∞f(x)dx 发散。
- 设 f(x) 在 [a,b) 上连续,点b 为函数 f(x) 的瑕点。则可类似的定义函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的反常积分
∫abf(x)dx=t→a+lim∫tbf(x)dx
- 设 f(x) 在 [a,b) 上除 c 点外连续,点c 为函数 f(x) 的瑕点。则可类似的定义函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的反常积分
∫acf(x)dx和∫cbf(x)dx
都收敛,则称反常积分 ∫abf(x)dx 收敛,且
∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx
如果至少有一个发散,则称 ∫abf(x)dx 发散。
常用结论:
∫ab(x−a)p1dx{p<1p≥1,发散,收敛
∫ab(b−x)p1dx{p<1p≥1,发散,收敛