Eigen學習筆記(14)-原位矩陣分解

原文：Eigen官網-Inplace matrix decompositions

從Eigen3.3開始，LU、Cholesky和QR分解可以就地操作，即直接在給定的輸入矩陣內操作。當處理大型矩陣或可用內存非常有限（嵌入式系統）時，此功能特別有用。

爲此，必須使用Ref<>矩陣類型實例化相應的分解類，並且必須使用輸入矩陣作爲參數構造分解對象。作爲一個例子，讓我們考慮一個局部旋轉的就地LU分解。

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
using namespace std;
using namespace Eigen;
int main()
{
  MatrixXd A(2,2);
  A << 2, -1, 1, 3;
  cout << "Here is the input matrix A before decomposition:\n" << A << endl;
  //聲明inplace LU 對象 lu,並輸出此時矩陣A中的內容
  //這裏，對象lu 計算L和U因子並將其存儲在由矩陣A所在的內存中。因此，A的係數在因子分解期間被破壞，並被L和U因子替換，因爲可以驗證：
  PartialPivLU<Ref<MatrixXd> > lu(A);
  cout << "Here is the input matrix A after decomposition:\n" << A << endl;
  
  //輸出lu對象的L和U因子，可以發現，結果和矩陣A的結果一樣
  cout << "Here is the matrix storing the L and U factors:\n" << lu.matrixLU() << endl;
  
  //然後，可以像往常一樣使用lu對象，例如解決Ax=b問題：
  //由於原始矩陣A的內容已經丟失，我們不得不聲明一個新的矩陣A0來驗證結果。
  MatrixXd A0(2,2); A0 << 2, -1, 1, 3;
  VectorXd b(2);    b << 1, 2;
  VectorXd x = lu.solve(b);
  cout << "Residual: " << (A0 * x - b).norm() << endl;
  // 輸出結果：Residual: 0
  
  //由於內存在A和lu之間共享，修改矩陣A將使lu無效。通過修改A的內容並再次嘗試解決初始問題，可以很容易地驗證這一點：
  A << 3, 4, -2, 1;
  x = lu.solve(b);
  cout << "Residual: " << (A0 * x - b).norm() << endl;
  // 輸出結果：Residual: 15.8114
  
  //如果要用修改後的A更新因子分解，必須像往常一樣調用compute方法：
  A0 = A; // save A
  lu.compute(A);
  x = lu.solve(b);
  cout << "Residual: " << (A0 * x - b).norm() << endl;
  // 輸出結果：Residual: 0
 
  //請注意，調用compute不會更改lu對象引用的內存。因此，如果使用與A不同的另一個矩陣A1調用計算方法，則不會修改A1的內容。這仍然是用於存儲矩陣A1的L和U因子的A的內容。這一點很容易驗證如下：
  MatrixXd A1(2,2);
  A1 << 5,-2,3,4;
  lu.compute(A1);
  cout << "Here is the input matrix A1 after decomposition:\n" << A1 << endl;
  // 輸出結果： Here is the input matrix A1 after decomposition:
 // 5 -2
 // 3  4
 //The matrix A1 is unchanged, and one can thus solve A1*x=b, and directly check the residual without any copy of A1:
  x = lu.solve(b);
  cout << "Residual: " << (A1 * x - b).norm() << endl;
  // 輸出結果： Residual: 2.48253e-16

結果如下：

Here is the input matrix A before decomposition:
 2 -1
 1  3
 
 Here is the input matrix A after decomposition:
  2  -1
0.5 3.5

Here is the matrix storing the L and U factors:
  2  -1
0.5 3.5

如下是支持inplace機制的矩陣分解：

• class LLT
• class LDLT
• class PartialPivLU
• class FullPivLU
• class HouseholderQR
• class ColPivHouseholderQR
• class FullPivHouseholderQR
• class CompleteOrthogonalDecomposition