四色定理的誕生過程 世界近代三大數學難題之一(另外兩個是費馬定理和哥德巴赫猜想)。四色猜想的提出來自英國。1852年，畢業於倫敦大學的 弗南西斯·格思裏(Francis Guthrie)來到一家科研單位搞地圖着色工作時，發現了一種有趣的現象：“看來，每幅地圖都可以用四種顏色着色，使得有共同邊界的國家着上不同的顏 色。”這個結論能不能從數學上加以嚴格證明呢？他和在大學讀書的弟弟格里斯決心試一試。兄弟二人爲證明這一問題而使用的稿紙已經堆了一大疊，可是研究工作 沒有進展。
1852年10月23日，他的弟弟就這個問題的證明請教他的老師、著名數學家德·摩爾根，摩爾根也沒有能找到解決這個問題的途徑，於是寫信向自己的好友、著名數學家哈密爾頓爵士請教。哈密爾頓接到摩爾根的信後，對四色問題進行論證。但直到1865年哈密爾頓逝世爲止，問題也沒有能夠解決。
1872年，英國當時最著名的數學家凱利正式向倫敦數學學會提出了這個問題，於是四色猜想成了世界數學界關注的問題。世界上許多一流的數學家都紛紛參加了四色猜想的大會戰。1878～1880年兩年間，著名的律師兼數學家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣佈證明了四色定理，大家都認爲四色猜想從此也就解決了。
11年後，即1890年，數學家赫伍德以自己的精確計算指出肯普的證明是錯誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。後來，越來越多的數學家雖然對此絞盡 腦汁，但一無所獲。於是，人們開始認識到，這個貌似容易的題目，其實是一個可與費馬猜想相媲美的難題：先輩數學大師們的努力，爲後世的數學家揭示四色猜想 之謎鋪平了道路。
進入20世紀以來，科學家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進行。1913年，伯克霍夫在肯普的基礎上引 進了一些新技巧，美國數學家富蘭克林於1939年證明了22國以下的地圖都可以用四色着色。1950年，有人從22國推進到35國。1960年，有人又證 明瞭39國以下的地圖可以只用四種顏色着色；隨後又推進到了50國。看來這種推進仍然十分緩慢。電子計算機問世以後，由於演算速度迅速提高，加之人機對話 的出現，大大加快了對四色猜想證明的進程。1976年，在J. Koch的算法的支持下，美國數學家阿佩爾(Kenneth Appel)與哈肯(Wolfgang Haken)在美國伊利諾斯大學的兩臺不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億判斷，終於完成了四色定理的證明。四色猜想的計算機證明，轟 動了世界,當時中國科學家也有在研究這原理。它不僅解決了一個歷時100多年的難題，而且有可能成爲數學史上一系列新思維的起點。
證明方法將地圖上的無限種可能情況減少爲1,936種狀態（稍後減少爲1,476種），這些狀態由計算機一個挨一個的進行檢查。這一工作由不同的程序和 計算機獨立的進行了複檢。在1996年，Neil Robertson、Daniel Sanders、Paul Seymour和Robin Thomas使用了一種類似的證明方法，檢查了633種特殊的情況。這一新證明也使用了計算機，如果由人工來檢查的話是不切實際的。
（不過最近，在一個叫“東陸論壇”的數學性論壇裏看見一個推理性的圖論證明。）
四色定理是第一個主要由計算機證明的理論，這一證明並不被所有的數學家接受，因爲它不能由人工直接驗證。最終，人們必須對計算機編譯的正確性以及運行這一程序的硬件設備充分信任。
缺乏數學應有的規範成爲了另一個方面；以至於有人這樣評論“一個好的數學證明應當像一首詩——而這純粹是一本電話簿！”
地圖四色定理最先是由一位叫古德里（Francis Guthrie）的英國大學生提出來的。德•摩爾根（A，DeMorgan，1806～1871）1852年10月23日致哈密頓的一封信提供了有關四色 定理來源的最原始的記載。他在信中簡述了自己證明四色定理的設想與感受。一個多世紀以來，數學家們爲證明這條定理絞盡腦汁，所引進的概念與方法刺激了拓撲 學與圖論的生長、發展。1976年美國數學家阿佩爾（K.Appel）與哈肯（W.Haken）宣告藉助電子計算機獲得了四色定理的證明，又爲用計算機證 明數學定理開拓了前景。以下摘錄德•摩爾根致哈密頓信的主要部分，譯自J． Fauve1 and J.Gray（eds.），The History of Mathematics ：A Reader，pp． 597～598。
德·摩爾根致哈密頓的信（1852年10月23日）
我的一位學生今天請我解釋一個我過去不知道，現在仍不甚了了的事實。他說如果任意劃分一個圖形並給各部分着上顏色，使任何具有公共邊界的部分顏色不同，那 麼需要且僅需要四種顏色就夠了。下圖是需要四種顏色的例子。現在的問題是是否會出現需要五種或更多種顏色的情形。就我目前的理解，若四個不訂分割的區域兩 兩具有公共邊界線，則其中三個必包圍第四個而使其不與任何第五個區域相毗鄰。這事實若能成立，那麼用四種顏色即可爲任何可能的地圖着色，使除了在公共點外 同種顏色不會。
現畫出三個兩兩具有公共邊界的區域ABC，那麼似乎不可能再畫第四個區域與其他三個區域的每一個都有公共邊界，除非它包圍了其中一個區域。但要證明這一點 卻很棘手，我也不能確定問題複雜的程度一對此您的意見如何呢？並且此事如果當真，難道從未有人注意過嗎？我的學生說這是在給一幅英國地圖着色時提出的猜 測。我越想越覺得這是顯然的事情。如果您能舉出一個簡單的反例來，說明我像一頭蠢驢，那我只好重蹈史芬克斯的覆轍了……。