本系列笔记为方便日后自己查阅而写,更多的是个人见解,也算一种学习的复习与总结,望善始善终吧~
基本子空间与投影矩阵
上一节课我们已经了解了投影矩阵 projection matrix,
结合我们过去学习到的四个基本子空间的内容,对于
- 若b在A的column space 则其投影为其本身b
- 若b垂直于A的column space则其投影为一个点,没有长度,为0
这是一张很重要的图片,向量
最小二乘 least square
继续上一节课的内容,找到过三个点的直线就是解三个方程,但此方程无解,此时我们要找到最接近的解“最优解”,我们要使得解最优即误差最小,定义误差为
这里使用平方的原因一是排除开根号带来的非线性运算,一是方便利用偏导数求解最小值。所以这里如果使用偏导数我们也能得到关于最优解的方程,用矩阵的方法求解
得到的方程是一样的,求解即可得出结果
我们脑海中要有两张图:
- 一个是我们要拟合的直线的那张图,各个点在我们得到的直线上的投影为p,偏差为e。
- 另一个是之前我们的column space与left null space的图,b向量的投影p向量在column space而e 向量在left null space,二者正交
证明ATA 可逆
求解
要证明
两边同乘
最后老师引入标准正交向量组:它们肯定线性无关
PS:另一位仁兄的笔记
http://blog.csdn.net/suqier1314520/article/details/13759193