剛體的慣性張量計算

剛體的慣性張量計算

定義

慣性張量表徵剛體質量分佈，被看做對一個物體慣量的廣義度量。一般在固連於剛體的座標系中定義慣性張量，用左上標表明已知慣性張量所在的參考座標系。例如座標系{A}中的慣性張量可以用$3\times 3$矩陣表示如下

$^AI=\left[ \begin{matrix} I_{xx}&-I_{xy}&-I_{xz} \\ -I_{xy}&I_{yy}&I_{yz} \\ -I_{xz} &-I_{yz}&I_{zz} \end{matrix}\right]$
矩陣中各元素爲

$I_{xx}=\int\int\int_{V}(y^2+z^2)\rho dv\\ I_{yy}=\int\int\int_{V}(x^2+z^2)\rho dv\\ I_{zz}=\int\int\int_{V}(x^2+y^2)\rho dv \\ I_{xy}=\int\int\int_{V}xy\rho dv \\ I_{xz}=\int \int \int_{V}xz\rho dv\\ I_{yz}=\int\int\int_{V}yz\rho dv \tag{6-17}$
其中$I_{xx},I_{yy},I_{zz}$稱爲慣量距，其餘三個交叉項稱爲慣量積。對於一個剛體來說，這六個相互獨立的量取決於所在座標系的位姿。

平行移軸定理

平行軸定理描述了以剛體質心爲原點的座標系移動到另一個座標系時慣性張量的變換關係。假設{C}是以剛體質心爲原點的座標系，{A}爲任意平移後的座標系，則平行軸定理可以表示爲
$^AI_{zz}=^CI_{zz}+m(x_c^2+y_c^2) \\\\ ^AI_{xy}=^CI_{xy}+mx_cy_c \tag{6-25}$

式中的矢量$P_c=[x_c,y_c,z_c]^T$表示剛體質心在座標系{A}中的位置。其餘的慣量矩和慣量積都可以通過式（6-25）交換x,y,z的順序計算而得。平行移軸定理可以表示成矢量-矩陣形式
$^AI=^CI+m(P^TP_cI_3-P_cP_c^T) \tag{6-26}$
式中$I_3$是$3\times 3$單位矩陣。
大多數操作臂連桿的集合形狀及結構組成都比較複雜，因而很難直接利用公式進行求解，一般使用測量裝置（例如慣量擺）來測量每個連桿的慣量矩，而不是通過計算求得。

參考資料：
[1] JOHN J.CRAIG. 機器人學導論: 第3版[M]. 機械工業出版社, 2006.