1. 引言

前面的文章中我們分別討論了座標系及其平移，旋轉兩種變換。但是到目前爲止我們一直都在分開討論平移和旋轉，而在實際應用中兩個座標系之間的關係往往既有平移又有旋轉，因此這篇文章我們將討論一下如何以一種更爲緊湊的方式來表達兩個座標系之間的位置及姿態關係。

2. 齊次座標系變換

我們可以把這個問題分解開來看，詳細說來就是當我們無法一下看出兩個座標系{A}和{B}的變換關係時，可以嘗試在這兩個座標系之間插入一箇中間座標系{C}，只要我們找到了座標系{A}和{C}的關係，然後又找到了座標系{C}和{B}的關係，那麼我們就可以間接確定{A}和{B}之間的關係。

2.1 座標系之間的位姿關係

如下圖所示，座標系{A}經過平移變換可以得到座標系{C}，座標系{C}繞其自身z軸旋轉可以得到座標系{B}。根據我們在機器人正運動學---座標系及其變換中提到的方法，我們可以很容易的確定座標系{A}與{C}之間的關係可以表達爲：

$p_{M}^{A}=p_{M}^{C}+p_{Corg}^{A}$ （1）

我們來解釋一下這個等式的含義。等式的左側是空間中任意一點在座標系{A}中的座標；等式右側 $p_{M}^{C}$ 代表點在座標系{C}中的座標； $p_{Corg}^{A}$ 代表座標系C的原點Corg（the origin of axis {C}）在座標系{A}中的座標。

考慮完了座標系{A}和{C}之間的平移關係，接下來我們討論座標系{B}和{C}之間的旋轉關係，前面我們已經敘述了座標系{B}的由來，它是座標系{C}沿着其z軸旋轉一個角度 $\theta$ 而來。因此，按照上一篇文章機器人正運動學---理解變換矩陣中提到的方法，將座標系{B}的各軸單位矢量在座標系{C}下投影即可得到座標系{B}與座標系{C}的姿態變換關係，如下式所示：

$p_{M}^{C}= ^{C}\textrm{R}_{B} \cdot P_{M}^{B}$ （2）

$^{C}\textrm{R}_{B}=\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta & 0\\ sin\theta & cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

旋轉矩陣 $^{C}\textrm{R}_{B}$ 的各列分別是座標系{B}三個座標軸單位矢量在座標系{C}三個軸上的投影。我們再來解釋一下上述座標變換等式的含義，左側代表空間點在座標系{C}中的座標；等式右側 $^{C}\textrm{R}_{B}$ 爲座標系{B}和{C}之間的變換關係； $p_{M}^{B}$ 代表點在座標系{B}中的座標。

接下來問題來了，有了座標系{A}和{C}的關係，也有了座標系{B}和{C}的關係，我們如何得到座標系{A}和{B}之間的變換呢？其實很簡單，可以從兩種角度去思考，第一個是從變換的角度，假設空間一點在座標系{B}中座標已知，爲 $p_{M}^{B}$ 。那麼通過座標系{B}和{C}的變換關係（等式（2）），我們就可以得到點在座標系{C}下的座標爲 $p_{M}^{C}$ ，而我們又知道座標系{A}和座標系{C}之間的關係（等式（1）），因此我們可以最終得到點在座標系{A}中的座標 $p_{M}^{A}$ 。第二個是從數學的角度，說白了就是將等式（2）代入到等式（1）就可以得到座標系{A}和{B}之間的關係。這個關係可以用下式表示：