矩陣的特徵值與特徵向量

矩陣的特徵值與特徵向量

1. 設矩陣A$A$ 是n$n$ 階方陣，如果存在數λ$\lambda$ 和非零向量x$x$ ，使得
   Ax=λx，(1)$$\begin{array}{}\text{(1)}& Ax=\lambda x，\end{array}$$
   則稱λ$\lambda$ 爲矩陣A$A$ 的特徵值，稱x$x$ 爲矩陣A$A$ 對應特徵值λ$\lambda$ 的一個特徵向量.式（1）可寫成
   （A−λE）x=0，(2)$$\begin{array}{}\text{(2)}& （A-\lambda E）x=0，\end{array}$$
   上式說明齊次線性方程組（2）有非零解x$x$ ，由齊次線性方程組有非零解的充分必要條件，得|A−λE|=0$|A-\lambda E|=0$ ，即
   |A−λE|=∣∣∣∣∣∣∣a11−λa21...an1a12a22−λ...an2.........a1na2n...ann−λ∣∣∣∣∣∣∣=0.(3)$$\begin{array}{}\text{(3)}& |A-\lambda E|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}-\lambda & a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a22-\lambda & ...& a_{2n}\\ ...& ...& & ...\\ a_{n1}& a_{n2}& ...& a_{nn}-\lambda \end{array}\right|=0.\end{array}$$
   記f(λ)=|A−λE|，f(λ)$f(\lambda )=|A-\lambda E|，f(\lambda )$ 是關於λ$\lambda$ 的一個n$n$ 次多項式，稱f(λ)$f(\lambda )$ 爲矩陣A$A$ 的特徵多項式.特徵多項式f(λ)$f(\lambda )$ 的根就是矩陣A$A$ 的特徵值.
   在複數範圍內，n$n$ 次多項式有n$n$ 個根（重根按重數計算）.設λ1,λ2,...,λn${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$ 是n$n$ 階方陣A$A$ 的n$n$ 個特徵值（重根按重數計算），利用根與係數之間的關係，有
   
   1. λ1+λ2+...+λn=a11+a22+...+ann${\lambda }_1+{\lambda }_2+...+{\lambda }_n=a_{11}+a_{22}+...+ann$ ；
   2. λ1⋅λ2⋅...⋅λn=|A|${\lambda }_1\cdot {\lambda }_2\cdot ...\cdot {\lambda }_n=|A|$
      設λ0${\lambda }_0$ 是n$n$ 階方陣A$A$ 的一個特徵值，則|A−λ0E|=0$|A-{\lambda }_{0}E|=0$ ，從而齊次線性方程組(A−λ0E)x=0$(A-{\lambda }_{0}E)x=0$ 有非零解，其非零解就是矩陣A$A$ 對應特徵值λ0${\lambda }_0$ 的特徵向量，所有非零解即爲矩陣A$A$ 對應於特徵值λ0${\lambda }_0$ 的全部特徵向量
2. n$n$ 階矩陣A$A$ 與它的轉置矩陣AT$A^T$ 具有相同的特徵多項式，從而具有相同的特徵值.事實上，
   |AT−λE|=|(A−λE)T|=|A−λE|.$$|A^T-\lambda E|=|(A-\lambda E{)}^T|=|A-\lambda E|.$$
3. 設λ$\lambda$ 是n$n$ 階矩陣A$A$ 的特徵值，則
   
   1. λ2${\lambda }^2$ 是A2$A^2$ 的特徵值；
   2. 當A$A$ 可逆時，1λ$\frac{1}{\lambda }$ 是A−1$A^{-1}$ 的特徵值
4. 設λ1,λ2,...,λm${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_m$ 是n$n$ 階矩陣A$A$ 的m$m$ 個互不相等的特徵值，其對應的特徵向量分別爲p1,p2,...,pm$p_1,p_2,...,p_m$ ，則p1,p2,...,pm$p_1,p_2,...,p_m$ 線性無關

相似矩陣

1. 設矩陣A,B$A,B$ 都是n$n$ 階方陣，如果存在可逆矩陣P$P$ ，使P−1AP=B$P^{-1}AP=B$ ，則稱矩陣A，B$A，B$ 相似.稱變換P−1AP$P^{-1}AP$ 爲相似變換
2. 相似矩陣具有相同的特徵多項式，從而具有相同的特徵值
3. 如果矩陣A$A$ 與對角矩陣
   Λ=⎛⎝⎜⎜⎜⎜λ1λ2...λn⎞⎠⎟⎟⎟⎟$$\mathrm{\Lambda }=\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ & {\lambda }_2\\ & & ...\\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right)$$
   相似，則λ1,λ2...,λn${\lambda }_1,{\lambda }_2...,{\lambda }_n$ 就是矩陣A$A$ 的特徵值
4. 如果n$n$ 階矩陣A$A$ 與對角矩陣Λ$\mathrm{\Lambda }$ 相似，則稱矩陣A$A$ 可相似對角化（簡稱爲可對角化）
5. n$n$ 階矩陣A$A$ 與對角矩陣Λ=⎛⎝⎜⎜⎜⎜λ1λ2...λn⎞⎠⎟⎟⎟⎟$\mathrm{\Lambda }=\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ & {\lambda }_2\\ & & ...\\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right)$ 相似的充分必要條件是矩陣A$A$ 有n$n$ 個線性無關的特徵向量
6. n$n$ 階矩陣A$A$ 與對角矩陣Λ$\mathrm{\Lambda }$ 相似的充分必要條件是矩陣A$A$ 的特徵值的重數等於其對應的線性無關的特徵向量的個數

實對稱矩陣的對角化

向量的內積

1. 設有n$n$ 維向量
   x=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜x1x2...xn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟，y=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜y1y2...yn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟，$$x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ .\\ .\\ .\\ x_n\end{array}\right)，y=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ .\\ .\\ .\\ y_n\end{array}\right)，$$
   稱x1y1+x2y2+...+xnyn$x_1{y}_1+x_2{y}_2+...+x_n{y}_n$ 爲向量x$x$ 與y$y$ 的內積，記爲[x,y]$[x,y]$ ，即
   [x,y]=xTy=x1y1+x2y2+...+xnyn$$[x,y]=x^{T}y=x_1{y}_1+x_2{y}_2+...+x_n{y}_n$$
2. 內積是兩個向量之間的一種運算，其結果是一個實數.內積滿足以下性質：
   
   1. [x,y]=[y,x]；$[x,y]=[y,x]；$
   2. [λx,y]=λ[x,y]；$[\lambda x,y]=\lambda [x,y]；$
   3. [x+y,z]=[x,z]+[y,z]；$[x+y,z]=[x,z]+[y,z]；$
   4. [x,x]≥0$[x,x]\ge 0$ ，當且僅當x=0$x=0$ 時，[x,x]=0.$[x,x]=0.$
      其中，x,y,z$x,y,z$ 都爲n$n$ 維向量，λ∈R.$\lambda \in R.$
3. 設x=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜x1x2...xn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟∈Rn$x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ .\\ .\\ .\\ x_n\end{array}\right)\in R^n$ ，稱[x,x]‾‾‾‾‾√=x21+x22+...+x2n‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√$\sqrt{[x,x]}=\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}$ 爲向量x$x$ 的長度（或範數），記爲||x||$||x||$ ，即||x||=[x,x]‾‾‾‾‾√=x21+x22+...+x2n‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√$||x||=\sqrt{[x,x]}=\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}$
4. 向量的範數具有以下性質：
   
   1. 非負性：||x||≥0$||x||\ge 0$ ，當且僅當x=0$x=0$ 時，||x||=0$||x||=0$ ；
   2. 齊次性：||λx||=|λ|⋅||x||$||\lambda x||=|\lambda |\cdot ||x||$ ；
   3. 三角不等式：||x+y||≤||x||+||y||$||x+y||\le ||x||+||y||$ ；
   4. 對任意n$n$ 維向量x,y$x,y$ ，有|[x,y]|≤||x||⋅||y||$|[x,y]|\le ||x||\cdot ||y||$ .
5. 若令x=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜x1x2...xn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟，y=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜y1y2...yn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟，$x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ .\\ .\\ .\\ x_n\end{array}\right)，y=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ .\\ .\\ .\\ y_n\end{array}\right)，$ 則上述性質（4）可表示爲：
   |∑i=1|nxiyi≤∑i=1nx2i‾‾‾‾‾‾⎷⋅∑i=1ny2i‾‾‾‾‾‾⎷.$$|\sum _{i=1}{|}^n{x}_i{y}_i\le \sqrt{\sum _{i=1}^n{x}_i^2}\cdot \sqrt{\sum _{i=1}^n{y}_i^2}.$$
   上述不等式稱爲施瓦茨不等式
   當||x||=1$||x||=1$ 時，稱x$x$ 爲單位向量，
   當x≠0,y≠0$x\ne 0,y\ne 0$ 時，由施瓦茨不等式，有
   |[x,y]||x||⋅||y|||≤1，$$|\frac{[x,y]}{||x||\cdot ||y||}|\le 1，$$
   稱θ$\theta$ 爲n$n$ 維向量x$x$ 與y$y$ 的夾角
   當[x,y]=0$[x,y]=0$ 時，稱向量x$x$ 與y$y$正交.顯然，若x=0$x=0$ ，則x$x$ 與任何向量都正交.
6. 若n$n$ 維向量α1,α2,...,αr${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_r$ 是一組兩兩正交的非零向量，則α1,α2,...,αr${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_r$ 線性無關
7. 設n$n$ 維向量e1,e2,...,er$e_1,e_2,...,e_r$ 是向量空間V(V⊂Rn)$V(V\subset R^n)$ 的一個基，如果e1,e2,...,er$e_1,e_2,...,e_r$ 兩兩正交，且爲單位向量，則稱e1,e2,...,er$e_1,e_2,...,e_r$ 爲向量空間V$V$ 的一個規範正交基（或標準正交基）
8. 設α1,α2,...,αr${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_r$ 是向量空間V$V$ 的一個基，爲了得到與α1,α2,...,αr${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_r$ 等價的一個規範正交基e1,e2,...,er$e_1,e_2,...,e_r$ .這一過程，稱爲把基
   α1,α2,...,αr$${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_r$$
   規範正交化，可按如下兩個步驟進行：
   
   1. 正交化：令
      β1=α1${\beta }_1={\alpha }_1$ ;
      β2=α−[β1,α2][β1,β1]β1${\beta }_2=\alpha -\frac{[{\beta }_1,{\alpha }_2]}{[{\beta }_1,{\beta }_1]}{\beta }_1$ ；
      ……
      βr=αr−[β1,αr][β1,β1]β1−[β2,αr][β2,β2]β2−...−−[βr−1,αr][βr−1,βr−1]βr−1.${\beta }_r={\alpha }_r-\frac{[{\beta }_1,{\alpha }_r]}{[{\beta }_1,{\beta }_1]}{\beta }_1-\frac{[{\beta }_2,{\alpha }_r]}{[{\beta }_2,{\beta }_2]}{\beta }_2-...--\frac{[{\beta }_{r-1},{\alpha }_r]}{[{\beta }_{r-1},{\beta }_{r-1}]}{\beta }_{r-1}.$ 容易驗證β1,β2,...,βr${\beta }_1,{\beta }_2,...,{\beta }_r$ 兩兩正交，且β1,β2,...,βr${\beta }_1,{\beta }_2,...,{\beta }_r$ 與α1,α2,...,αr${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_r$ 等價.上述過程也稱爲施密特正交化
   2. 單位化：令
      e1=1||β1||β1，e2=1||β2||β2，...，er=1||βr||βr，$$e_1=\frac{1}{||{\beta }_1||}{\beta }_1，e_2=\frac{1}{||{\beta }_2||}{\beta }_2，...，e_r=\frac{1}{||{\beta }_r||}{\beta }_r，$$
      則e1,e2,...,er$e_1,e_2,...,e_r$ 是向量空間V$V$ 的一個規範正交基
9. 如果n$n$ 階矩陣A$A$ 滿足
   ATA=E，即A−1=AT，$$A^{T}A=E，即A^{-1}=A^T，$$
   則稱矩陣A$A$ 爲正交矩陣，簡稱正交陣
10. 正交矩陣具有以下性質：
    
    1. 如果矩陣A$A$ 是正交矩陣，則|A|=1$|A|=1$ 或(−1)$(-1)$ ；
    2. 如果矩陣A，B$A，B$ 都是正交矩陣，則AB$AB$ 也是正交矩陣
11. n$n$ 階矩陣A$A$ 爲正交矩陣的充分必要條件是A$A$ 的列向量組是兩兩正交的單位向量組.

實對稱矩陣的對角化

1. 實對稱矩陣的特徵值一定是實數
2. 設λ1，λ2${\lambda }_1，{\lambda }_2$ 是實對稱矩陣A$A$ 的兩個不相等的特徵值，其對應的特徵向量分別爲p1,p2$p_1,p_2$ ，則p1$p_1$ 與p2$p_2$ 正交
3. 設A$A$ 爲n$n$ 階實對稱矩陣，λ$\lambda$ 是A$A$ 的特徵方程的k$k$ 重根，則矩陣A−λE$A-\lambda E$ 的秩R(A−λE)=n−k$R(A-\lambda E)=n-k$ ，從而對應特徵值λ$\lambda$ 恰有k$k$ 個線性無關的特徵向量
4. 設A$A$ 爲n$n$ 階實對稱矩陣，則必有正交矩陣P$P$ ，使P−1AP=PTAP=Λ$P^{-1}AP=P^{T}AP=\mathrm{\Lambda }$ .其中Λ$\mathrm{\Lambda }$ 是以A$A$ 的n$n$ 個特徵值爲對角元素的對角矩陣.
5. 將一個n$n$ 階實對稱矩陣A$A$ 對角化的步驟爲：
   
   1. 求出A$A$ 的全部互不相等的特徵值λ1,λ2,...,λs${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_s$ ，它們的重數分別k1,k2,...,ks(k1+k2+...+ks=n)$k_1,k_2,...,k_s(k_1+k_2+...+k_s=n)$ ；
   2. 對每個ki$k_i$ 重特徵值λi${\lambda }_i$ ，由(A−λiE)x=0$(A-{\lambda }_{i}E)x=0$ 求出基礎解系，得ki$k_i$ 個線性無關的特徵向量，把它們正交化、單位化，便得n$n$ 個兩兩正交的單位特徵向量p1,p2,...,pn$p_1,p_2,...,p_n$ ；
   3. 令P=(p1,p2,...,pn)$P=(p_1,p_2,...,p_n)$ ，便有P−1AP=PTAP=Λ$P^{-1}AP=P^{T}AP=\mathrm{\Lambda }$