矩陣的初等變換
- 以下三種變換稱爲矩陣的初等行變換:
- 對調兩行(對調第 兩行,記作 );
- 以數 乘以某一行中的所有元素(第 行乘以數 ,記作 );
- 把某一行所有元素的 倍加到另一行對應的元素上(第 行的 倍加到第 行上,記作 )
把定義中的“行”換成“列”即得矩陣的初等列變換(所用記號是把“ ”換成” ”).矩陣的初等行變換與初等列變換統稱爲初等變換.矩陣的初等變換都是可逆的,上述三種初等行變換的逆變換分別爲
- 如果矩陣 經有限次初等行變換變成矩陣 ,則稱矩陣 與 行等價,記作 ;如果矩陣 經過有限次初等列變換變成矩陣 ,則稱矩陣 與 列等價,記作 ;如果矩陣 經有限次初等變換變成矩陣 ,稱矩陣 與 等價,記作
- 矩陣之間的等價關係具有下列性質:
- 反身性: ;
- 對稱性:若 ,則 ;
- 傳遞性:若
- 矩陣 稱爲行階梯形矩陣.其特點是:可畫出一條階梯線,線的下方全爲零,每個階梯只有一行,階梯數即是非零行的行數,非零行的首位元素是非零數.
- 稱爲行最簡形矩陣.其特點是:在行階梯形矩陣中非零行的首位元素爲1,且其所在列其他元素全爲零
- 對於任一矩陣 總可以經過有限次初等行變換把它變爲行階梯形矩陣和行最簡形矩陣.所以,要解線性方程組只需把線性方程組的增廣矩陣化爲行最簡形矩陣.
- 對行最簡形矩陣再施以初等列變換,可變成一種形狀更簡單的矩陣,如矩陣 稱爲 的標準形.其特點是: 的左上角是一個單位陣,其餘元素全爲零.一般地,對於 矩陣 ,總可以經過初等變換把它化爲標準形 此標準形由 三個數完全確定,其中 就是行階梯形矩陣中非零行的行數.所有與 等價的矩陣組成的一個集合稱爲一個等價類,標準形 便是這個等價類中形狀最簡單的矩陣
初等矩陣
- 對單位矩陣 施行一次初等變換得到的矩陣稱爲初等矩陣
- 三種初等變換對應三種初等矩陣:
- 對調兩行或兩列:將單位矩陣 的第 行(列)與第 行(列)互換,記爲 ,即設矩陣 是 矩陣,可以驗證:以一 階初等矩陣 左乘矩陣 其結果相當於對矩陣 施行第一種初等行變換 ,以一 階初等矩陣, 右乘矩陣 其結果相當於對矩陣 施行第一種初等列變換
- 以數k(\not= 0)乘以某行或某列:將單位矩陣 的第 行(列)乘以數 ,記爲 ,即可以驗證:以 左乘矩陣 ,其結果相當於以數 乘以 的第 行 ;以 右乘矩陣 ,其結果相當於以數 乘以 的第 列
- 以數 乘以某行(列)加到另一行(列)上:以數 乘以單位矩陣 的第 行加到其第 行上,記爲 即可以驗證:以 左乘矩陣 ,其結果相當於把 的第 行乘以 加到第 行上 ;以 右乘矩陣 ,其結果相當於把 的第 列乘以 加到第 列上
- 對調兩行或兩列:將單位矩陣 的第 行(列)與第 行(列)互換,記爲 ,即
- 設 是一個 矩陣,對 施行一次初等行變換,相當於在 的左邊乘以相應的 階初等矩陣;對 施行一次初等列變換相當於在 的右邊乘以相應的 階初等矩陣.
由初等變換的可逆性知,初等矩陣都是可逆的,且其逆矩陣是同類型的初等矩陣 - 方陣 可逆的充分必要條件是存在有限個初等矩陣 使
- 方陣 可逆的充分必要條件是
- 設 都是 矩陣,矩陣 與 等價的充分必要條件是存在 階可逆矩陣 及 階可逆矩陣 ,使
矩陣的秩
- 在 矩陣 中,任取 行 列 ,位於這些行列交叉處的 個元素,不改變它們在 中所處的位置而構成的 階行列式,稱爲矩陣 的一個 階子式.一個 矩陣 共有 個 階子式
- 設矩陣 爲 矩陣,如果存在一個 階子式不爲零,且所有的 階子式(如果存在)全爲零,則稱 爲矩陣 的秩,記作 ,即 .(零矩陣的秩等於0).矩陣 的秩就是 中不等於零的子式的最高階數
- 由於 階方陣 ,當 時, 當 時, .可見,可逆矩陣的秩等於矩陣的階數.因此,可逆矩陣又稱滿秩矩陣;不可逆矩陣(奇異矩陣)又稱降秩矩陣
- 若 ,則
- 矩陣秩的基本性質:
- 設矩陣 是 矩陣,則 ;
- ;
- 若 ,則 ;
- 若 可逆,則 ;
- ;
特別地,當 爲列向量時,有 . - ;
- ;
- 若 ,則 ;
線性方程組的解
- 元線性方程組 :
- 無解的充分必要條件是 ;
- 有唯一解的充分必要條件是 ;
- 有無窮多解的充分必要條件是 ;
- 元齊次線性方程組 :
- 只有零解的充分必要條件是 ;
- 有非零解的充分必要條件是 ;
- 矩陣方程 有解的充分必要條件是 .
- 設 ,則 .
- 矩陣方程 只有零解的充分必要條件是