【数字电子技术 Digital Electronic Technology 10】—— 数-模和模-数转换解题技巧分析

1. D/A转换器

1.1 权电阻网络D/A转换器

这里我们说明一下：当d = 1时，模拟开关就会接在$V_{REF}$处，当d = 0时，模拟开关就会接地
那么，我们就可以得到上图中$i_{\sum}$的表达式：$i_{\sum} = d_0\frac{V_{REF}}{2^3R} + d_1\frac{V_{REF}}{2^2R} + d_2\frac{V_{REF}}{2^2R} + d_3\frac{V_{REF}}{R}$
由模电里面运放的知识我们可以得到：$\frac{v_0}{R_F} = -i_{\sum} = -(d_0\frac{V_{REF}}{2^3R} + d_1\frac{V_{REF}}{2^2R} + d_2\frac{V_{REF}}{2^2R} + d_3\frac{V_{REF}}{R})$
而$R_F = \frac{R}{2}$，所以上式子又可以化简为：$v_0 = -\frac{V_{REF}}{2^4}(d_32^3+d_22^2+d_12^1+d_02^0)$
综上，我们可以得到n位权电阻型D/A转换器的输出电压表达式：$v_0 = -\frac{V_{REF}}{2^n}D_n\space 【重要！】$
且$v_0$的最大变化范围是：0~$\frac{2^n-1}{2^n}V_{REF}$
【缺点】：随着输入信号的位数变多，它的精度就会变得很低

1.2 倒T型电阻网络D/A转换器

首先，我们还是说明一下：当d = 1时，模拟开关接运放的$V_-$，当d = 0时，模拟开关接在运放的$V_+$（即相当于接地），要计算这个电路的$i_{\sum}$可不是一件轻松的事情，好在我们的运放有“虚短”的特点，即此时$V_- = V_+ = 0$，因此，计算各个支路电流的等效电路如下：

因此，$i_{\sum} = d_3\frac{I}{2} + d_2\frac{I}{4} + d_1\frac{I}{8} + d_0\frac{I}{16}$
则有：$i_{\sum} = d_3\frac{I}{2} + d_2\frac{I}{4} + d_1\frac{I}{8} + d_0\frac{I}{16} = -\frac{v_0}{R}$

最终，我们化简得到的输出电压的表达式还是下面这个：$v_0 = -\frac{V_{REF}}{2^n}D_n$

2. D/A转换器的转换精度和转换速度：

【1】一个n位的D/A转换器的分辨率是：$\frac{1}{2^n-1}$
【2】如果已知一个n位D/A转换器的满刻度输出电压U，那么，它的分辨率为：$\frac{U}{2^n -1}$

3. A/D转换器

A/D转换一般包括：取样、保持、量化和编码四个步骤

3.1 取样

3.2 量化和编码

量化方式分为两种：1. 只舍不入量化方式 2. 四舍五入量化方式，它们的举例如下图所示：
要求将0~1V的电压的模拟信号转换成3位二进制代码：

下面我就来详细解释一下这两种量化方式和误差分析：
对于图(a)的量化方式，最小量化单位是$\frac{1}{8}V$，我们把输入的模拟信号中电压范围在0~$\frac{1}{8}V$的电压都当作0△=0V对待，电压范围在$\frac{1}{8}V$ ~ $\frac{2}{8}V$的都当作1△ = $\frac{1}{8}V$对待、、、
那么，我们想啊，假设我们输入的模拟信号在某一时刻为0V时，输出的数字信号是0，而如果模拟信号是$\frac{1}{8}V$，那么输出的数字信号依然是0，这样一来，就产生了量化误差，而且，采用图(a)这种只舍不入的量化方式，量化误差为$\frac{1}{8}V$，即△。

下面，我们看看图(b)这种四舍五入的量化方式：我们同样是把0~1V的电压分成8分，但是这次不是简单地除以8平均分，而是像上图那样，取量化电平△ = $\frac{2}{15}V$，那么，我们就把输入的模拟电压中电压范围在0 ~ $\frac{1}{15}V$的电压当作0△ = 0V对待，把电压范围在$\frac{1}{15}V$ ~ $\frac{3}{15}V$的电压当作$\frac{2}{15}V$对待。
那么，假设某一采样时刻我们的模拟电压是$\frac{1}{15}V$，那么对应的数字电平就是$\frac{2}{15}V$，但是如果模拟电压是$\frac{3}{15}V$，那么对应的数字电平也是$\frac{2}{15}V$，这时的误差就变成了$\frac{2}{15}V - \frac{1}{15}V = \frac{1}{15}V = \frac{1}{2}△V$

3.3 A/D转换器的电路结构和工作原理

3.3.1 并联比较型A/D转换器

基于我们刚刚讲的四舍五入量化方式，我们介绍并联比较型A/D转换器

上图也是按照我们刚刚的四舍五入量化方式设置的比较电压（C是电压比较器），我们看到：当$0 < v_I < \frac{V_{REF}}{15}$时，全部的电压比较器都是输出低电平、当$\frac{V_{REF}}{15} < v_I < \frac{2V_{REF}}{15}$时，只有$C_1$输出为1，其余为0，以此类推。如果我们现在是需要自己设计那个代码转换器，就像上面右图一样是一个黑匣子，那么，我们通过刚刚的分析可以得到代码转换器的输入与输出的关系：（因为经过的D触发器特性方程是$Q^* = D$，因此，没影响）

那么，根据真值表就可以写出代码转换器的电路结构了

【重点】：并联型A/D转换器的转换速度极快，只需要经过电压比较器、触发器和代码转换器的延迟就可以完成转换。但是也有很大的缺点：就是随着我们要转换的二进制代码的位数n增大，电路结构的复杂度也会急剧增大

【下表是考试重点】：

	速度	复杂度	完成一次转换所需要的CLK数目
并联比较型	最快	最复杂	最多2个
计数器型	最慢	最简单	$2^n + k$
逐次渐进型	比并联比较型慢一点	适中	n+2

4. 解题技巧归纳：

【题型一】：各种芯片和A/D转换器结合起来，然后要求画出输出电压的波形
对于这种问题，我们首先需要搞清楚A/D转换器芯片的输入量是什么，然后牢牢按照这个公式：$v_0 = -\frac{V_{REF}}{2^n}D_n$算出不同输入时对应的输出电压$v_0$

【题型二】：要求设计一个电路，能够产生所给定的电压波形

【题型三】：一些概念性的计算题
例题1：有一个8位D／A转换器，设它的满度输出电压为25．5V，当输入数字量为11101101时，输出电压为（）V
解：先计算出8位D/A转换器所能接受输入的最大数字量：$2^8 - 1 = 255$，因此，当输入的数字量是11101101 = $(237)_{10}$时，对应的输出电压是：$\frac{237}{255}$x$25.5V$ = 23.7V

例题2：设有一个十位D/A转换器，它的满刻度输出电压为102.3V，则它的分辨率为：
解：$\frac{102.3}{2^{10}-1} = 0.1V$