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說在前面
出於尊重，還是先簡介一下裴蜀：。。。。。。好吧，網上並沒有什麼關於 艾蒂安·裴蜀 的個人簡介。
爲什麼把裴蜀定理和乘法逆元放在一起講呢？ 因爲二者之間有非常微妙的關係，裴蜀定理說明了兩數不互質（a，m不互質）的情況下，a是沒有關於m的乘法逆元的（a*x ≡ 1 mod m 不存在的）。好了，下文再詳細解釋。
裴蜀定理
簡介裴蜀定理
裴蜀定理（Bézout’s identity）得名於法國數學家艾蒂安·裴蜀，說明了對任何整數a、b和它們的最大公約數d，關於未知數x和y的線性不定方程（稱爲裴蜀等式 ax+by = z）：若a,b是整數,且gcd（a，b）=d，那麼對於任意的整數x，y，ax+by都一定是d的倍數，特別地，一定存在整數x，y，使ax+by=d成立。
它的一個重要推論是：a,b互質的充要條件是存在整數x，y使ax+by=1
是不是性能強勁？（可以先自行思考一下與乘法逆元的關係，下文會講解）
算法實現
別逗了吧，這是一個數學定理，直接用於思考就行，哪來的算法實現？
證明
裴蜀定理：若ax+by = z，則 gcd（a，b）| z
再順手證明一下裴蜀定理：
設k = gcd（a，b），則 k | a， k | b，根據整除的性質，有 k | （ax+by）
設 s爲ax+by的最小正數值
再設 q = [a / s]（a整除s的值）；r = a mod s = a-q（ax+by） = a（1 - qx）+b（-qy）；
由此可見r也爲a，b的線性組合；（ax+by稱爲a，b的線性組合）
又因爲s爲a，b的線性組合的最小正數值，0<= r < s，所以r的值爲0，即 a mod s = r =0；s | a；
同理可得 s | b，則 s | k；
又因爲 k | （ax+by），s爲ax+by的最小正數值，所以 k | s；
因爲 s | k，k | s，所以s = k；
原命題得證。
（這應該是裴蜀定理最簡單的證明方法了）
關於N個數的拓展
以上是關於兩個數a，b的，那有沒有關於一堆數的呢？答案是有。
設a1，a2，a3……an爲n個整數，d是它們的最大公約數，那麼存在整數x1……xn使得x1 * a1+x2* a2+…xn* an=d
順手再證明一下：
首先，d已經有了，則d | a1…..an，依舊設 s 爲x1 * a1+x2* a2+…xn* an=d 的最小正整數值
再設 q = [a1 / s]（a整除s的值）；r = a1 mod s = a1-q（a1*x1+……+an * xn） = a1（1 - q * x1）+……+an（-q * xn）；
由此可見r也爲a1……an的線性組合；
又因爲s爲a1……an的線性組合的最小正數值，0<= r < s，所以r的值爲0，即 a1 mod s = r =0；s | a1；
同理可得 s | a2……an，則 s | d；
又因爲 d | （a1 * x1+……an * xn），s爲線性組合的最小正數值，所以 d | s；
因爲 s | d，d | s，所以s = d；
原命題得證。
證明方法與上面類似。
推論
- a，b互質的充要條件是存在整數x，y使ax+by=1
- 如果a1…an互質（不是兩兩互質），那麼存在整數x1……xn使得x1* a1+x2* a2+…xn*an=1，反過來一樣
- 方程 ax + by = 1 有解當且僅當整數a和b互質
- 一堆數情況的類同
乘法逆元
好了，輪到乘法逆元了，不知道機智的看客們有沒有發現裴蜀定理與乘法逆元的關係，即a，m不互質時沒有a關於m的乘法逆元，裴蜀定理有解釋（肯定還有人不知道什麼是乘法逆元）
簡介乘法逆元
若有 a*x ≡ 1 （mod m），則稱 x 爲a關於m的乘法逆元，等價式 a * x+m * y = 1
當a，m不互質時，是沒有解的，即乘法逆元不存在（還是裴蜀定理）
如何求解乘法逆元
經觀察我們可以發現，a * x+m * y = 1 是一個二元一次方程
那麼就很顯然了，可以通過擴展歐幾里得算法求解（不會擴展歐幾里得算法的點這裏）
其實還有一個很神奇的東西叫做歐拉定理（講解鏈接），它可以直接算出乘法逆元
（求解乘法逆元的前提是乘法逆元存在）
乘法逆元的作用
求解出了乘法逆元之後，它有什麼用呢？答案是帶除號的取模，即分數取模 （a / b） mod m
若a可以被b整除還好，直接算，但是數要是很大。。。
但是這一切問題有了乘法逆元都不存在了
設x爲b關於m的乘法逆元，那麼我們有a * x ≡（a / b） mod m
先來一個簡單的證明：
首先（a/b） * 1 ≡（a/b） mod m是成立的，
然而 b * x ≡ 1 mod m，
所以有（a / b） * （b * x）≡ （a/b） mod m，
化簡一下就有了 a * x ≡ （a/b） mod m
這樣是不是分數取模問題就迎刃而解了。
按照慣例再說兩句
本人蒟蒻一枚，博客難免有誤，發現錯誤的大牛牪犇可以發私信聯繫本人指正錯誤。另外本博客可能會更新，可以考慮收藏一下。
好了，暫時就講這麼多了，如果絕對這裏講解得不夠詳細，也可以私信聯繫本人交流一下。
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