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說在前面
按照慣例，出於尊重，還是簡單介紹一下這位多產的學術偉人
萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler ，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士數學家、自然科學家。1707年4月15日出生於瑞士的巴塞爾，1783年9月18日於俄國聖彼得堡去世。歐拉出生於牧師家庭，自幼受父親的影響。13歲時入讀巴塞爾大學，15歲大學畢業，16歲獲得碩士學位。歐拉是18世紀數學界最傑出的人物之一，他不但爲數學界作出貢獻，更把整個數學推至物理的領域。他是數學史上最多產的數學家，平均每年寫出八百多頁的論文，還寫了大量的力學、分析學、幾何學、變分法等的課本，《無窮小分析引論》、《微分學原理》、《積分學原理》等都成爲數學界中的經典著作。歐拉對數學的研究如此之廣泛，因此在許多數學的分支中也可經常見到以他的名字命名的重要常數、公式和定理。
這篇文章要講的就是歐拉函數及歐拉定理。
歐拉函數
簡介歐拉函數
首先，沒有歐拉函數是沒有歐拉定理滴。
在數論，對正整數n，歐拉函數是小於n的正整數中與n互質的數的數目（φ(1)=1）。此函數以其首名研究者歐拉命名(Euler’so totient function)，它又稱爲Euler’s totient function、φ函數、歐拉商數等。 例如φ(8)=4，因爲1,3,5,7均和8互質。
如何求歐拉函數
這裏有個通式
（φ這個符號好難打。。就直接掛圖了）
其中每個p是x互不相同的質因數，x爲正整數，φ(1)=1，同時顯然的任意一個質數的φ就是它自己減一。
通式的實質是將與x有大於1的公約數的數全部篩掉了。
這樣求單個φ可以，但求一大串效率是不是太低了？
利用歐拉函數的特殊性質求φ
首先，p爲質數
若i mod p = 0，則φ(i * p) = φ(i) * p；
若i mod p > 0，則φ(i * p) = φ(i) * (p-1)；
證明自己看看同時就懂了。
這樣我們O(n)的求出1~n的φ，如同用歐拉篩法求質數一樣，φ也可以用篩法求質數的同時求。
直接掛代碼吧：
for(i=1;i<=n;i++)
{
if(prime[i]) //判斷是否質數
{
phi[i] = i-1;
num++;
zs[num] = i;
}
//篩質數順便求解
for(j=1;i*zs[j]<=n && j<=num;j++)
{
prime[i*zs[j]] = false;
if(i%zs[j]!=0) phi[i*zs[j]] = phi[i]*phi[zs[j]];
else phi[i*zs[j]] = phi[i]*zs[j];
}
}與歐拉篩法求質數的方式如出一轍。
歐拉函數的一些應用
- 求1~n內與n互質的數的個數，直接就是φ。
- 求1~n內與n互質的數的總和，就是n * φ(n)/2；（1~n內與n互質的數具有對稱性，即gcd(x,n)=1,則gcd(n-x,n)=1）
- 接下來要講的歐拉定理
- ……
歐拉定理
簡介歐拉定理
若gcd(a,p)=1,則a^φ(p) ≡ 1 (mod p) 這個定理可以求乘法逆元（乘法逆元講解）。
而且包含了費馬小定理（a ^ (p-1) ≡ 1 (mod p)要求p爲質數），因爲當p爲質數時φ(p) = p-1。
證明
將1~n中與n互質的數按順序排布：x1,x2……xφ(n) （顯然，共有φ(n)個數）
我們考慮這麼一些數：
m1=a * x1；m2=a * x2；m3=a * x3 …… mφ(n) = a * xφ(n)；
一、這些數中的任意兩個都不模n同餘
因爲如果有mS≡mR (mod n) （這裏假定mS更大一些），就有：
mS-mR=a(xS-xR)=qn，即n能整除a(xS-xR)；
但是a與n互質，而且xS-xR < n，因而左式不可能被n整除；
也就是說這些數中的任意兩個都不模n同餘，φ(n)個數有φ(n)種餘數。
二、這些數除n的餘數都與n互質
設r = a * xi mod n，則a * xi = qn+r；
設d = gcd(qn+r,n)，因爲a與n互質，xi與n互質，所以qn+r與n互質，所以d = 1；
由歐幾里得定理（歐幾里得講解）得，gcd(r,n) = gcd(qn+r,n)；
所以gcd(r,n) = 1，即餘數與n互質。
由上可知，數m1,m2,m3……mφ(n)（如果將其次序重新排列）mod n必須相應地同餘於x1,x2,x3……xφ(n)。
故得出：m1 * m2 * m3……mφ(n) ≡ x1 * x2 * x3……xφ(n) (mod n)
或者說a^φ(n) * (x1 * x2 * x3……xφ(n)) ≡ x1 * x2 * x3……xφ(n) (mod n)
兩邊同時消去x1 * x2 * x3……xφ(n)，得 a^φ(n) ≡ 1 (mod n)，得證。
歐拉定理的應用及推廣
求解乘法逆元；
取模時降冪 若a，n互質 a^k ≡ a^(k mod φ(n)) (mod n) 顯然的；
擴展歐拉定理：
有沒有覺得和上一個應用有點像？好像沒什麼用？
實際上功能強大，可以在 a和m不互質的時候使用，非常強的一種降冪方式，具體證明這裏不在贅述，有鏈接（點這裏）。
在處理許多關於模的問題時，尤其是OI類賽事，歐拉函數及定理是不可或缺的利器！
按照慣例再說兩句
本人蒟蒻一枚，博客難免有誤，發現錯誤的大牛牪犇可以發私信聯繫本人指正錯誤。另外本博客可能會更新，可以考慮收藏一下。
好了，暫時就講這麼多了，如果絕對這裏講解得不夠詳細，也可以私信聯繫本人交流一下。
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