直方圖均衡化的一個關鍵引理證明

上週六牛哥來組織講課，講到了一個有趣的引理：（如圖所示）

條件可能需要加強，注意到累計分佈函數是不減的，現加強爲“累計分佈函數是嚴格單調的（這在圖像處理直方圖均衡中很常見）”，另一方面由於隨機變量r 是連續性隨機變量，容易證明分佈函數爲連續函數。
由已知Fr(x)=P{r<x}=∫x−∞Pr(w)dw ,s=Fr(x) ,此時我們考慮s 的分佈函數 T(t) ，注意到由於s 是x 的累計分佈函數(實際上就是概率)，所以取值範圍爲[0,1] ,加強爲嚴格單調遞增後,F 恆有反函數F−1

T(t)=P{s≤t}=P{Fr(x)≤t}=P{x≤F−1r(t)},

於是有在[0,1] 上有

T(t)=P{x≤F−1r(t)}=F（F−1(t)）=t,

在R/[0,1] 的情況顯然爲0辣~~於是乎證畢，即T ~U(0,1) 。