【省选模拟】20/03/04

$calculus$

• 显然可以发现，出题人用了很多奇怪的方法包括增长题面，使题面晦涩难懂，定义新的位运算，输入一堆奇怪的式子来增加题面难度

• 题意，你有 $k\le 4$ 个变元 $x_1\dots xk$，分别可以取真或假，有两种运算 $\sim,\otimes$，表示取反和 $a\otimes b=(\sim a)|b$，输入一个含变元和 $Q$ 的表达式，其中 $Q$ 为一串变元通过上述两种符号串成的表达式，并且 $Q$ 中包涵 $n$ 个符号，我们需要确定有多少个 $Q$ 满足无论 $x$ 怎么去结果都为真
  $n\le 70,k\le 4,q\le 500,len\le 4000$

• 暴力：枚举 $Q$ 及 $2^k$ 种变元

• 优化，将 $2^k$ 种变元排成一列状压每一种变元是真是假，枚举当前符号是 $\sim$ 还是 $\otimes$ 转移，即：
  $f[i][j]=f[i-1][\sim j]+\sum_{k=0}^{i-1}\sum_{a\otimes b=j}f[k][a]*f[i-1-k][b]$
  后面用 $fwt$ 转移，只需要做 $n$ 次 $fwt$， 剩余点乘，复杂度 $O(n^2*2^{2^k}+2^k*2^{2^k})$
  现在有了初始表达式的限制，我们枚举每一种变元看 $Q$ 是必须为 $0/1$ 还是均可均不可
  这个可以直接用栈搞一个括号匹配模拟，复杂度 $O(m*len*2^k)$
  $Code$

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$Concise$：

• $f(i)=\sum_{j=1}^i(s(i)-s(j-1))^k=\sum_{l=0}^k\binom{k}{l}s(i)^l\sum_{j=0}^{i-1}s(j)^{k-l}$
  维护后面的前缀和，复杂度 $O(nk)$
  $Code$

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$Fancy:$

• 题意：3 棵树，求出以下 3 者的 $min,max$
• 第一棵树的两两距离和
• 第一棵树和第二棵树连一条边后两两距离和
• 第一棵和第二棵树连一条边，第二课树和第三棵连一条边后两两距离和

题解：

• 第一个是定值，假设三棵树的大小分别是 $n_1,n_2,n_3$，第二个选到点分别是 $u,v$，所有点到 $u,v$ 的距离和是 $S_u,S_v$，那么新增贡献是 $S_u*n_2+S_v*n_1+n_1*n_2$，分别取 $v,u$ 的最大最小
• 第三个，讨论 $(1,2),(1,3),(2,3)$ 的新增贡献，把常数项抛开
  $S_a*n_2+S_1*n_1+S_2*n_3+S_c*n_2+S_1*n_3+S_c*n_1+dis(1,2)*n_1*n_3$
  $S_a,S_c$ 分别取最大最小，那么还剩 $n_1S_1+n_3S_2+dis(1,2)n_1n_3$，最小化就是 $S_1,S_2$ 均取最小，最大化可以用点分治 树形$dp$，枚举 $1$，维护 $n_3S_2+dis*n_1n_3$ 的最大值即可
  $Code$