【省选模拟】20/04/03

$Set$

• $ans=\sum_{i=1}^{u}T^i\binom{n-i}{t}$，其中 $u=n-k+1,t=k-1$，然后推式子
  $S=\sum_{i=1}^{u}T^i\binom{n-i}{t}\\ ST=\sum_{i=2}^{u+1}T^i\binom{n-i+1}{t}\\ (T-1)S=T^{n-k+2}\binom{k-1}{t}-T\binom{n-1}{t}+(\sum_{i=1}^uT^{i}\binom{n-i}{t-1}-T\binom {n-1}{t-1})$
  递归即可，预处理 $n-1$ 的组合数 code

$Math$

• 转换一下题意发现求 $\prod_{i=1}^n (1+ix)$ 模 $p$ 意义下为 0 的下标个数
  令 $a=\lfloor\frac{n}{p}\rfloor,b=n-ap$，那么即求 $(\prod_{i=1}^{p-1}1+ix)^a(\prod_{i=1}^b 1+ix)$
  注意到前面一坨有 $p-1$ 个根，是 $[1,p-1]$，我们知道 $x^{p-1}-1\equiv 0$ 也有 $p-1$ 个同样的根，并且次数相同，所以用 $x^{p-1}-1$ 替换原式
  那么 $(x^{p-1}-1)^a=\sum (-1)^i\binom{a}{i}x^{(p-1)(a-i)}$，考虑有多少个非零项，对于 $\binom{a}{i}\neq 0$ 有会有一项，由 $lucas$ 定理，$a$ 的每一位大于 $i$，方案数即 $\prod (a_i+1)$
  若 $b=p-1$，那么我们用上述方法算 $(x^{p-1}-1)^{a+1}$
  否则系数不重叠，分治 $fft$ 算出 $b$ 的非零项即可 code

$Divide$

• 构造，我们将每个点拆成多个点满足每个点的度数 $\le k$，然后强制这 $k$ 条边颜色不同，这样每个点的不和谐度只会为 1，下面我们证明对于一个最大度数为 $k$ 的二分图，用 $k$ 种颜色染边可以使一个点的所有出边颜色不同

• 对于 $k=0$ 成立
  假设对于 $k-1$ 成立，我们希望对新图中度数为 $k$ 的点找到一个完美匹配，然后将完美匹配的边设成一种颜色，删去这些边就可以转换为子问题
  我们可以加一些虚点，将度数不足 $k$ 的点补足 $k$，首先证明有完美匹配，
  若没有，由 $hall$ 定理， 存在 $S$ 满足 $|N(S)|<|S|$，而在 $|S|$ 和 $|N(S)|$ 之间有 $|S|*D$ 条边，而 $N(S)$ 最多连出去 $|N(S)|*D$ 条边，所以不符
  由于度数为 $k$ 的一定不会匹配虚点，我们将虚点即虚点的边删掉，将完美匹配的边去掉即得证

• 基于此，我们可以增量构造每条边的颜色，令 $c_0$ 为 $x$ 可以填的最小颜色，$c_1$ 为 $y$ 可以填的最小颜色， 若 $c_0=c_1$ 则染色，否则假设 $c_0<c_1$，我们让这条边为 $c_0$，让 $y$ 原本 $c_0$ 的边为 $c_1$…，容易发现这个过程是没有环的，所以就构造完了，复杂度 $O((n+\frac{m}{k})m)$ code