S.P. Poisson過程

Poisson過程是最重要的隨機過程之一，它是計數過程、獨立平穩增量過程、Markov過程。在隨機過程的理論及排隊論、計算機圖像處理等諸多應用領域具有奠基性的作用。

1. 計數過程

計數過程在實際中有着廣泛的應用，只要我們對所觀察的事件出現的次數感興趣，就可以使用計數過程來描述。比如，考慮一段時間內到某商店購物的顧客數或某超市中等待結賬的顧客數，經過公路上的某一路口的汽車數量，某地區一段時間內某年齡段的死亡人數，新出生人數，保險公司接到的索賠次數等，都可以用計數過程來作爲模型加以研究。

2. Poisson過程的定義

2.1 定義一

Poisson過程的獨立增量性和平穩增量性的直觀含義：
獨立增量性：在不相交的時間區間上面，事件A發生的次數是相互獨立的
平穩增量性：事件A發生的次數的分佈，只與時間的長度有關，而與時刻本身無關

定義一中判斷隨機變量的分佈並不是一件容易的事情，故有定義二。

2.2 定義二

條件（3）中兩個式子的直觀含義：
在充分短的時間範圍內，事件A最多隻發生1次，或者說，事件A是一次一次地發生的；它同時發生2次或兩次以上的概率爲0.

根據定義二，可以畫出一個不太嚴格的Poisson分佈的軌道圖：

2.3 兩個定義的等價性

數學歸納法+微分方程

3. Poisson過程的基本性質

3.1 Poisson過程的數字特徵

3.2 Poisson過程的可加性

由泊松分佈的可加性可以自然聯想（特徵函數證明）

3.3 Poisson過程的可分解性

也叫隨機篩選的性質

4. Poisson過程相聯繫的若干分佈

4.1 時間間隔xn的分佈（定義三）

xn服從參數爲λ的指數分佈，且相互獨立

4.2 到達時刻Tn的分佈

Tn服從參數爲n，λ的 Γ分佈

4.3 C.R.V順序統計量的分佈

4.4 到達時刻的條件分佈

5. Poisson過程的推廣

5.1 非齊次Poisson過程

用Poisson過程做一些實際的計數過程的模型會有一些侷限性。
比如：電話交換臺收到的呼叫次數、服務機構的顧客數…，這些經常會與時刻有關，事件發生的強度不是一個常數。
解決的方式：把 λ 換成 λ (t).

當Poisson過程的強度 λ 不再是常數，而與時間 t 有關時，Poisson過程被推廣爲非齊次Poisson過程。
非齊次Poisson過程保留了Poisson過程的獨立增量性，但沒有了平穩增量性。

5.2 複合Poisson過程

複合Poisson過程是保險中最基本的一個模型，在很多應用領域也經常用到。

性質：

5.3 條件Poisson過程

Poisson 過程描述的是一個有着“風險”參數 λ 的個體發生某一事件的頻率，如果我們考慮一個總體，其中的個體存在差異，比如發生事故的傾向性因人而異。由此定義：
即事件發生的強度與時刻關係不大，但依賴於一個環境變量。如高速公路的事故數與天氣情況相關。
條件Poisson過程保留了Poisson過程的平穩增量性，但沒有了獨立增量性。

遺留問題

使用R模擬時遇到的問題

學習過程中碰到一道習題，對於題目中兩個函數的分佈是否一樣不大好判斷，我就想用R去做模擬。這兩個函數的特點是：都是連續型、約束條件都很多，所以找不到可以直接調用的函數。
然後我就用經驗分佈函數去近似模擬它們原來的分佈，由於計算機對這種近似求法本來就有一定的差距，即使不斷調整兩個函數的n值，最後的結果始終都無法完整擬合，但能夠大致判斷函數的走向。
相當於中心極限定理的逼近過程，n值取得越大，結果肯定更好。但是要怎樣才能擬合出像R語言裏面那些已經封裝好的連續型函數的效果呢？