【省选模拟】20/05/22

$A$

• 注意到如果可以不联通的话方案数为 $2^{\binom{n-1}{2}}$ 种，即考虑前面随便连边，最后一个点存在唯一一种合法的连边方式，最后 $ln$ 或分治 $ntt$ 或 $n^2$ 容斥回去即可

#include<bits/stdc++.h>
#define cs const
#define pb push_back
#define poly vector<int> 
using namespace std;
cs int Mod = 1e9 + 7;
int add(int a, int b){ return a + b >= Mod ? a + b - Mod : a + b; }
int dec(int a, int b){ return a - b < 0 ? a - b + Mod : a - b; }
int mul(int a, int b){ return 1ll * a * b % Mod; }
void Add(int &a, int b){ a = add(a,b); }
void Dec(int &a, int b){ a = dec(a,b); }
void Mul(int &a, int b){ a = mul(a,b); }
int ksm(int a, int b){ int as=1; for(;b;b>>=1,Mul(a,a)) if(b&1) Mul(as,a); return as; }
cs int N = 2e3 + 50;
int n, f[2][N], fc[N], ifc[N];
int C(int n, int m){ if(n<0||m<0||n<m) return 0; return mul(fc[n],mul(ifc[n-m],ifc[m])); }
void fc_init(int n){
	fc[0]=fc[1]=ifc[0]=ifc[1]=1;
	for(int i=2; i<=n; i++) fc[i]=mul(fc[i-1],i);
	ifc[n]=ksm(fc[n],Mod-2);
	for(int i=n-1; i>=2; i--) ifc[i]=mul(ifc[i+1],i+1);
}
int main(){
	#ifdef FSYolanda
	freopen("road.in","r",stdin);
	freopen("road.out","w",stdout); 
	#endif
	scanf("%d",&n); fc_init(n); poly F(n+1,0); 
	for(int i=1; i<=n; i++) F[i]=ksm(2,(i-1)*(i-2)>>1);
	poly G = F;
	for(int i=1; i<=n; i++){
		for(int j=1; j<i; j++)
		Dec(F[i],mul(C(i-1,j-1),mul(F[j],G[i-j])));
	} cout<<mul(F[n],n*(n-1)>>1);
}

$B$

• 考虑跑一个从左上角开始的到关键格子的左上角的最短路树，那么这些最优路径一定会包着这棵最短路树，我们将格子的交点拆出 4 个点，直接连边，考虑若最短路树（绿色）穿过了两个格点，那么两条黄色的边将会被删掉，再考虑需要围一圈的限制，我们将关键格子蓝色部分的点删掉，这样就可以保证从周围绕过去，从左上角拆出来的右上角跑到左上角拆出来的左下角即走出了回路，建出图跑最短即可
  
  
  
• 代码暂时咕掉了

$C$

• 看成一个长为 $m$ 的序列，每种颜色的球为 $a_i$ 个，带标号，强制标号为 1 的在最前方（除掉第一个放的），那么答案就是合法的排列数
  若不考虑第一个不除，答案即为
  $\frac{m!}{\prod a_i}$
  下面考虑第一个，首先第一个出现位置在其它球的第一个后方，我们对这个进行容斥，考虑点一个集合 $S$ 在当前枚举的 $t$ 后方，那么 $t$ 的贡献是
  $(-1)^{|S|}a_t!\binom{\sum_{i\in S}a_i+a_t-1}{a_t-1}*\frac{(\sum_{i\in S}a_i)!}{\prod_{i\in S}a_i}*\binom{m}{\sum_{i\in S}a_i+a_t}*\frac{(\sum_{i\notin S,i\neq t}a_i)!}{\prod_{i\notin S,i\neq t} a_i}\\ =(-1)^{|S|}\frac{a_t^2}{\prod_i a_i}(\sum_{i\in S}a_i+a_t-1)!\frac{m!}{(m-\sum_{i\in S}a_i-a_t)!(\sum_{i\in S}a_i+a_t)!}(\sum_{i\notin S,i\neq t}a_i)!\\=m!\sum_S(-1)^{|S|}\frac{a_t^2}{\prod a_i}\frac{1}{\sum_{i\in S}a_i+a_t}$
  那么我们只需要 $dp$ 出
  $f_T=\sum_{\sum_{i\in S}a_i=T,t\notin S}(-1)^{|S|}$
  对于限制可以回退一下揹包，$O(nm)$，在膜拜了 $ldx$ 之后即可分治 $ntt$ 做到 $O(m\log^2m)$

#include<bits/stdc++.h>
#define cs const
#define pb push_back
#define poly vector<int> 
using namespace std;
cs int Mod = 1e9 + 7;
int add(int a, int b){ return a + b >= Mod ? a + b - Mod : a + b; }
int dec(int a, int b){ return a - b < 0 ? a - b + Mod : a - b; }
int mul(int a, int b){ return 1ll * a * b % Mod; }
void Add(int &a, int b){ a = add(a,b); }
void Dec(int &a, int b){ a = dec(a,b); }
void Mul(int &a, int b){ a = mul(a,b); }
int ksm(int a, int b){ int as=1; for(;b;b>>=1,Mul(a,a)) if(b&1) Mul(as,a); return as; }
cs int N = 55, M = 1e3 + 50;
int n, m, a[N], iv[M], fc[M], ifc[M];
int dp[M];
void fc_init(int n){
	fc[0]=fc[1]=ifc[0]=ifc[1]=iv[0]=iv[1]=1;
	for(int i=2; i<=n; i++) iv[i]=mul(Mod-Mod/i,iv[Mod%i]);
	for(int i=2; i<=n; i++) fc[i]=mul(fc[i-1],i);
	ifc[n]=ksm(fc[n],Mod-2);
	for(int i=n-1; i>=2; i--) ifc[i]=mul(ifc[i+1],i+1);
}
int main(){
	#ifdef FSYolanda
	freopen("1.in","r",stdin);
//	freopen("comb.out","w",stdout);
	#endif
	scanf("%d",&n); int mt=1;
	for(int i=1; i<=n; i++) 
	scanf("%d",&a[i]), m+=a[i], Mul(mt,a[i]); 
	fc_init(m); mt=ksm(mt,Mod-2); 
	Mul(mt,fc[m]); dp[0]=1; 
	for(int i=1,S=0; i<=n; i++){
		S+=a[i]; for(int j=S; j>=a[i]; j--) 
		Dec(dp[j],dp[j-a[i]]);
	} int ans = 0;
	for(int i=1; i<=n; i++){
		for(int j=a[i]; j<=m; j++)
		Add(dp[j],dp[j-a[i]]); int Sum=0;
		for(int j=0; j<=m; j++) Add(Sum,mul(dp[j],iv[j+a[i]]));
		Add(ans, mul(a[i]*a[i],Sum));
		for(int j=m; j>=a[i]; j--)
		Dec(dp[j],dp[j-a[i]]);
	} cout << mul(ans,mt); return 0;
}