目錄
1. 自由度的定義
自由度在很多領域中會出現，對於機器人而言，我們這裏談的也就是機構的自由度。任何一臺機器人都可以認爲是一個機構。所謂自由度通俗的講就是爲了唯一確定一個機構的運動狀態所必須的獨立變量的個數。
在自由度的定義中，唯一、必須、獨立是三個比較關鍵的詞。唯一確定即給定這些變量後機器人具有唯一的位型；必須則是一種最少的概念，也就是能夠確定機器人狀態的最少的變量數；獨立則表示這些變量可以獨立的變化。
我們以一個二連桿機器人爲例，如下圖所示。
很明顯爲了確定這個二連桿機器人的運動所需的獨立變量個數爲2。圖中的角度x1和x2就是爲了確定二連桿機器人當前狀態的一組獨立變量。當然這種獨立變量並不唯一，我們同樣可以選擇角度x1和始末兩端連線長度r來描述機器人當前狀態。在分析力學中這組獨立變量又被稱爲廣義座標，這個概念我們暫時不提，後面會有涉及。
2. 自由度的計算
2.1 剛體的自由度
在給出具體的公式之前，我們首先考慮，一個不受任何約束的剛體在空間中的自由度，很顯然應該是6。因爲剛體可以沿着x，y，z三個座標軸方向平移，也可以繞着x，y，z三個軸旋轉。因此爲了確定一個不受約束的剛體的運動狀態，我們需要六個獨立的變量。如下面的圖所示。x，y，z可以唯一確定剛體上的一個點，但是隻有這三個變量，剛體依然可以繞該點做任意的旋轉運動，因此還需要Wx，Wy，Wz三個姿態變量來確定剛體的姿態，這也就是剛體的定位和定姿。
機器人通常是由連桿構成，我們通常將每一個連桿看作一個剛體，因此不考慮連桿之間的連接時，機器人每個連桿都有6個自由度。對於一個有n個連桿的機器人，如果不考慮連桿約束那麼它的自由度是6n。
2.2 運動副
機器人連桿之間的相互連接引入了約束。在機構學上將這種約束稱爲運動副。運動副是指兩個構件既保持接觸又有相對運動的活動連接。下圖是一些比較常見的運動副。
移動副是一種使兩個構件發生相對移動的連接結構，它具有一個移動自由度，約束了剛體其他5個運動。（只能沿某一個軸平移，缺少三個旋轉自由度和兩個平移自由度）；
轉動副是一種使兩個構件發生相對轉動的連接結構，它具有一個轉動自由度，約束了剛體的其他5個運動。
圓柱副是一種使兩個構件發生同軸轉動和移動的連接結構，通常由共軸的轉動副和移動副組合而成。它具有兩個獨立的自由度，約束了剛體的其他4個運動。
2.3 自由度算例
如下圖所示是一個SCARA（水平多關節機器人）機器人。
機器人的第一和第二關節爲旋轉關節，第三關節爲移動關節，第四關節爲旋轉關節。這樣一個機器人自由度如何計算呢。
首先第一個連桿是基座，由於基座固定，因此其自由度爲0；
第二個連桿通過轉動副與第一個連桿相連，轉動副引入五個約束。
第三個連桿通過轉動副連接到第二個連桿，同樣引入五個約束。
第四個連桿通過滾珠絲桿花件連接到第三個連桿，滾珠絲槓有兩個自由度，可以認爲是一個圓柱副，這個連接引入了四個約束。
而機器人總共有四個連桿，那麼總的連桿自由度數爲4*6=24；總的約束爲6+5+5+4=20。因此機器人的自由度爲4。
2.4 自由度計算公式
因此總的來說，自由度計算公式如下：
其中，n代表我們探討問題的空間的維度，通常爲3維的平面空間或者6維的立體空間，g爲運動副的個數，pi代表第i個運動副所帶來的約束的個數。
當然關於自由度有許多更爲艱深的話題，這絕對不是上面這個簡簡單單的公式能夠完全探討清楚的，實際上上面的公式並不能計算所有機構的自由度。在現代通常利用拓撲學，李羣等更復雜的數學來詮釋自由度。
但是對於機器人學而言，我們能夠理解到當前這個程度已基本夠用。有時我們甚至可以認爲驅動器的個數就是機器人的自由度。
3. 總結
關於自由度就先介紹到這裏，之後將介紹座標系變換，這是整個機器人學的根基。由於個人能力有限，所述內容難免存在疏漏，歡迎指出，歡迎討論。