8. 機器人正運動學---DH座標系建立技巧

目錄

 

1. 引言

2. 建立DH座標系的技巧

2.1 理清關節和連桿

2.2 畫 z 軸

2.3 確定 x 軸

2.3.1 x軸方向

2.3.2 x軸起始點（座標系原點）

2.4 小結

3. 總結

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1. 引言

關於DH參數上一篇文章介紹了基本概念和物理意義，但是還有一些內容沒有提到。這篇文章主要介紹DH座標系建立的一些技巧。

2. 建立DH座標系的技巧

DH參數本身並不複雜，但是最初我在應用DH參數對機器人建立座標系時的感受就一個字，亂。亂的原因是比較多的，羅列一下有這麼幾個點：

1. 在機器人上不太容易一一區分出各個連桿，而且連桿編號也容易亂
2. 無法確定一段距離是連桿偏距  還是連桿長度 
3. 難以確定座標系的  軸方向
4. 建立完座標系後發現通過DH變換無法使座標系重合

那麼建立DH座標系有沒有什麼技巧呢？還真有，而且很有效。下面我們來介紹一下如何快速建立機器人的DH座標系。

2.1 理清關節和連桿

第一步至關重要，你得首先搞清楚哪個是關節1，哪個是連桿1，與連桿1固連的座標系1原點在哪裏等等。還是想再次強調DH座標系是建立在連桿的傳動軸也就是遠離基座的那個軸。因此對於串聯機器人來說關節，連桿，座標系按照距離基座由近到遠排列應該是這樣的：首先肯定是關節1，其次是安裝在關節1上的連桿1，然後是與連桿1固連的座標系1，之後是關節2。請注意連桿1的座標系  軸軸線實際是連桿2的驅動軸。

我們以一個六軸機器人建立DH座標系爲例，爲了方便看清楚各個連桿，我把每個連桿塗成了不同的顏色，如下圖所示。

想象一下如果沒有給各個連桿塗上顏色，你還能一下子看出所有的連桿嗎？你還能一下子區分出連桿1的座標系應該建立在哪裏嗎？

2.2 畫 z 軸

第二步我們要確定各個連桿座標系的  軸，這一步實際上是比較容易的，因爲按照規則  軸應該是和關節軸同向的。所以這裏你唯一需要搞清楚的是這些  軸分別是固連在哪個連桿上。由於DH參數是在傳動軸上建立座標系的（請原諒我已經無數次在強調這個問題，因爲我曾經無數次掉進這個坑裏），所以  軸肯定是建立在連桿遠離基座一側的那個軸上的。

以下我們把與連桿固連的座標系塗成與連桿相近的顏色。請先在自己的腦海中構思一下，看看你建立的  軸與下面的圖是一致的嗎。

2.3 確定 x 軸

第三步我們需要確定  軸，這一步是最關鍵也是比較困難的一部分。在這裏需要確定的有兩點，第一點你需要確定  軸的方向第二點你得搞清楚座標系的原點在哪裏，也就是需要確定  軸的起始點。

2.3.1 x軸方向

我們先解決第一點。DH座標系的  軸是連桿的驅動軸和傳動軸的公垂線。所以  軸的方向相對而言是比較容易獲得的。我們知道兩個不平行的向量的叉乘（外積）就是兩個向量的公垂線了。所以我們定義：

                                                                           

這樣你就可以確定連桿座標系  軸的軸線了。最終  軸的指向你可以統一讓它們指向傳動軸。當驅動軸和傳動軸平行時也很簡單，你只需要畫一條與兩個軸都垂直且相交的向量，並且這個向量指向傳動軸就可以了。

2.3.2 x軸起始點（座標系原點）

接下來解決第二點。怎麼確定座標系  軸的起點（其實就是座標系原點）。提前說明一下，當連桿的驅動軸和傳動軸是異面直線時這個問題是不存在的，因爲異面直線的公垂線有且僅有一條，這個時候原點已經隨着  軸的確定一起確定下來了（就是  軸和  軸的交點）。

除了異面直線之外，驅動軸和傳動軸還有兩種關係，一個是平行關係，另一個是相交關係。這兩種關係下驅動軸和傳動軸的公垂線有無數條。在這個時候要如何確定座標系的原點呢？

按照DH的規則，兩個  軸之間公垂線長度代表的是抽象的連桿長度，兩個  軸的公垂線長度代表的相鄰兩個連桿之間的偏距。你在確定座標系原點時就需要考慮這些參數物理含義了。由於  軸已經全部確定了，  軸的方向也確定了，所以這個時候各個連桿的長度也就是DH參數中的  已經確定了。那麼我們在選擇  軸的起點時必須要保證經過上一個連桿 i-1 的座標系繞  軸旋轉和沿  軸平移後能讓  和  重合。當你發現經過這樣的變換不能讓和重合時說明你的連桿 i 座標系選擇的原點有問題。

上面這麼說還是太晦澀了，我們舉個例子。上面的六軸機器人連桿2的驅動軸和傳動軸平行，連桿3的驅動軸和傳動軸相交，我們就以這兩個連桿爲例來說明座標系原點的確定過程。

在這之前我們還是先把基座標系和連桿1座標系確定下來，通常基座的  軸指向機器人的正前方。因此基座標系很容易就確定下來了。連桿1的驅動軸和傳動軸是異面直線，因此連桿1的座標系  軸也可以輕鬆地根據前面提到的叉乘公式確定。這樣基座和連桿1的座標系就確定完了，如下圖所示。

接下來的連桿2和連桿3就比較特殊了。當你試圖找到  和  的公垂線時你發現又無數條。對於這種平行的連桿怎麼確定其  軸呢？其實很簡單，你的連桿 1 座標系不是已經確定好了嘛，只需要過這個座標系原點作垂線與  相交就可以了。這其實是最簡單的連桿，不要把這個問題想複雜了就好。如果不相信，你可以按照前面說的規則檢驗一下。連桿 2 的座標系確定之後如下圖所示。

接下來就是連桿3了，你會發現連桿3的驅動軸和傳動軸是相交的。連桿3的  方向是容易確定的，因爲只要驅動軸和傳動軸不平行我們就可以利用叉乘公式確定確定  軸的方向。但是同樣的，這樣的  軸有無數個，要怎麼選擇呢？你可以試一下選  和 的交點。先告訴各位這是對的。其實可以多找幾個點，你會發現無論原點選在除這個點之外的任何地方，你要麼需要在某個中間步驟向軸平移，要麼就是最終你需要在  軸方向再平移一段。這樣我們就確定了連桿3的座標系，如下圖所示。觀察後你會發現兩個座標系的原點重合，這說明連桿長度和連桿偏距都爲0，這就是此類連桿的一個特點。

後面的連桿4也是類似的，驅動軸和傳動軸相交，注意圖裏面的  很不明顯，不要把  當成  哦。叉乘後發現  向下，原點當然也是在  和  的交點。後面的連桿也都大同小異。這裏我就不一一介紹了。

最後的六軸機器人DH座標系建立完成後如下圖所示。

最後我們寫出這個機器人的DH參數表如下表所示。

連桿編號					offset
1					0
2		0		0
3		0	0		0
4			0
5		0	0
6		0	0	0	0

 

關於offset項是疊加在上面的偏置量，你可以理解爲機器人處於零位時，驅動軸和傳動軸依然存在夾角。

2.4 小結

前面感覺囉嗦了很多，不知道有沒有說清楚，這裏簡單總結一下：當連桿驅動軸和傳動軸是異面直線，公垂線（唯一）就是連桿的  軸；當連桿的驅動軸和傳動軸平行時，找到上一個連桿的座標系原點，向當前連桿的  軸作垂線，垂足就是當前連桿原點，垂線就是  軸；當連桿的驅動軸和傳動軸相交時，交點就是連桿座標系原點，驅動軸和傳動軸的叉乘就是  軸方向。

這一塊還是需要各位仔細去品味的，相信你經過不斷的思考和嘗試，一定可以變得通透。寫這篇博客挺費力的，作圖時間很長，但是我真的在這個過程裏受益匪淺，對DH座標系的理解也更進了一步。如果你一下子還不能完全理解，千萬彆着急，可以先放着，過幾天再看，相信一定會有新的收穫。

3. 總結

這篇文章我們主要介紹了DH座標系建立的一些技巧，下一篇文章會介紹修改DH參數以及和標準DH參數之間的差別。由於個人能力有限，所述內容難免存在疏漏，歡迎指出，歡迎討論。

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