通俗理解齊次變換矩陣複合變換的時候變換順序不可逆——上

這個很多人都會直接說：“就是不可逆啊，你拿兩個矩陣乘以下，在換個順序乘以下，它們的結果就是不一樣的。”是啊，但是爲什麼它們的結果是不一樣的呢？小虎曾經在機器人學課堂上問過老師，老師含糊其詞，想拿上面那句話唬我狂小虎，說這是線性代數的知識，但是小虎上的線性代數課也只給出“矩陣和矩陣相乘不滿足乘法交換律(cummutative property)”的結論。

齊次變換矩陣複合變換不可逆分析

先給出結論：
對於在相對座標系下的固定點P，當相對座標系相對於固定/絕對座標系作同一運動的時候，如果該運動所處的順序不同，那麼P點相對於固定/絕對座標系的運動效果是不一樣的，而我們觀察的往往是物體（比如這個點）相對於固定/絕對座標系的運動。

拿一個題目作爲例子好啦。
固連在座標系（𝑛,𝑜,𝑎）上的點P(7,3,2)T 經歷如下變換，求出變換後該點相對於固定參考座標系的座標。

當繞y軸旋轉90°處在第（2）步時

（1）繞z軸旋轉90°；
（2）接着繞y軸旋轉90°；
（3）接着再平移[4,-3,7]；
我就拿例子中繞y軸旋轉90°這個運動來說明。
第一個步驟結束後，P座標爲
$P(-3,7,2)$

（1）結束後，我們來看看P在絕對座標系中的位置：
$\pmb{P_{noa}''}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1& 0\\ 0 & 1 & 0& 0\\ -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} -3\\ 7\\ 2 \\ 1\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2\\ 7\\ 3\\ 1\\ \end{bmatrix}$
$P'(2,7,3)$

兩個步驟中P的相對位置變換爲
$\Delta_1= (2,7,3)-(-3,7,2)=(5,0,1)$

當繞y軸旋轉90°處在第（3）步時

倒轉一下（2）和（3）的順序
（1）繞z軸旋轉90°；
（2）接着再平移[4,-3,7]；
（3）接着繞y軸旋轉90°；

(2)結束後，P在絕對座標系中座標如下（計算過程略）
$P(1,4,9)$

(3)結束後，我們來看看P在絕對座標系中的位置：
$\pmb{P_{noa}'''}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1& 0\\ 0 & 1 & 0& 0\\ -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} 1\\ 4\\ 9 \\ 1\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 9\\ 4\\ -1\\ 1\\ \end{bmatrix}$
$P(9,4,-1)$
兩個步驟中P的相對位置變換爲
$\Delta_2= (9,4,-1)-(1,4,9)=(8,0,-10)$

可以看到$\Delta_1\neq \Delta_2$，可以推測再平移[4,-3,7] 步驟的$\Delta_3$和$\Delta_4$也是不一樣的，而且正是由於$\Delta_1+\Delta_3\neq \Delta_2+\Delta_4$，最終交換順序才導致結果不同。也就是P在不同順序下進行接着繞y軸旋轉90°相對於絕對座標系位移是不一樣的，對於再平移[4,-3,7]這個移動也是如此。
P可以時相對座標系上的任意一點，特殊地，當P初始座標爲$(0,0,0)$時，P就是相對座標系的座標原點，結果也是類似的。

說明

爲防止文章過長乏味，將此博客爲上下兩篇。通俗理解就上篇足夠，下篇是對這篇例題的常規求解和線性代數解釋。

通俗理解齊次變換矩陣複合變換的時候變換順序不可逆——上
通俗理解齊次變換矩陣複合變換的時候變換順序不可逆——下