这个很多人都会直接说:“就是不可逆啊,你拿两个矩阵乘以下,在换个顺序乘以下,它们的结果就是不一样的。”是啊,但是为什么它们的结果是不一样的呢?小虎曾经在机器人学课堂上问过老师,老师含糊其词,想拿上面那句话唬我狂小虎,说这是线性代数的知识,但是小虎上的线性代数课也只给出“矩阵和矩阵相乘不满足乘法交换律(cummutative property)”的结论。
齐次变换矩阵复合变换不可逆分析
先给出结论:
对于在相对座标系下的固定点P,当相对座标系相对于固定/绝对座标系作同一运动的时候,如果该运动所处的顺序不同,那么P点相对于固定/绝对座标系的运动效果是不一样的,而我们观察的往往是物体(比如这个点)相对于固定/绝对座标系的运动。
拿一个题目作为例子好啦。
固连在座标系(𝑛,𝑜,𝑎)上的点P(7,3,2)T 经历如下变换,求出变换后该点相对于固定参考座标系的座标。
当绕y轴旋转90°处在第(2)步时
(1)绕z轴旋转90°;
(2)接着绕y轴旋转90°;
(3)接着再平移[4,-3,7];
我就拿例子中绕y轴旋转90°这个运动来说明。
第一个步骤结束后,P座标为
P(−3,7,2)
(1)结束后,我们来看看P在绝对座标系中的位置:
Pnoa′′Pnoa′′Pnoa′′=⎣⎢⎢⎡00−10010010000001⎦⎥⎥⎤×⎣⎢⎢⎡−3721⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎡2731⎦⎥⎥⎤
P′(2,7,3)
两个步骤中P的相对位置变换为
Δ1=(2,7,3)−(−3,7,2)=(5,0,1)
当绕y轴旋转90°处在第(3)步时
倒转一下(2)和(3)的顺序
(1)绕z轴旋转90°;
(2)接着再平移[4,-3,7];
(3)接着绕y轴旋转90°;
(2)结束后,P在绝对座标系中座标如下(计算过程略)
P(1,4,9)
(3)结束后,我们来看看P在绝对座标系中的位置:
Pnoa′′′Pnoa′′′Pnoa′′′=⎣⎢⎢⎡00−10010010000001⎦⎥⎥⎤×⎣⎢⎢⎡1491⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎡94−11⎦⎥⎥⎤
P(9,4,−1)
两个步骤中P的相对位置变换为
Δ2=(9,4,−1)−(1,4,9)=(8,0,−10)
可以看到Δ1=Δ2,可以推测再平移[4,-3,7] 步骤的Δ3和Δ4也是不一样的,而且正是由于Δ1+Δ3=Δ2+Δ4,最终交换顺序才导致结果不同。也就是P在不同顺序下进行接着绕y轴旋转90°相对于绝对座标系位移是不一样的,对于再平移[4,-3,7]这个移动也是如此。
P可以时相对座标系上的任意一点,特殊地,当P初始座标为(0,0,0)时,P就是相对座标系的座标原点,结果也是类似的。
说明
为防止文章过长乏味,将此博客为上下两篇。通俗理解就上篇足够,下篇是对这篇例题的常规求解和线性代数解释。
通俗理解齐次变换矩阵复合变换的时候变换顺序不可逆——上
通俗理解齐次变换矩阵复合变换的时候变换顺序不可逆——下