這門課的重要性不言而言，它是解釋線性代數的來源以及它可以怎麼用的重點，而在學校裏面，我們只能夠學到它的定義和計算方式。
1 向量是什麼？
1.1問題
- 向量是什麼？
學物理的說是空間的一個箭頭，學計算機的說是列表。而學數學的說，向量可以是任何東西，只需要滿足向量加法和數乘的法則都可以叫向量。不過爲了學了線性代數的幾何，我們暫時認爲它是箭頭吧。
這和數學僅僅是一些數字和定義在其上的一些運算，多麼相似。
- 向量的加法和數乘在座標系中分別代表什麼？（向量就這兩種基本運算，點積，叉積都是在其爲基礎之上的）
比如v+w,在座標系中表示先沿着v走一段路，再平移w走一段路，最後走到的地方就是和。
而數乘表示拉伸或者縮短向量。
這不禁讓我想起概率圖模型的理論原理是如此簡單。
2 線性組合、張成的空間和基
- 基向量是什麼？
當我們把一個向量當成標量的時候，那麼它的數值（座標系位置）就是對基向量的縮放得到。比如僅僅依靠二維空間中i和j基向量，我們就可以獲得二維空間所有箭頭（點）。
- 線性組合？
當我們書寫av+bw，a，b是常數，v和w是向量。我們也可以獲得一個結果向量，這個結果向量就是v和w經過線性組合得到的。
那麼線性的意思是什麼？如果固定a，而僅僅改變b那麼結果向量就只能在一條直線上運動了。
經過v和w的線性組合（簡單運用向量加和數乘法則），我們可以在二維空間獲得所有的二維向量，那麼所有二維向量組成的空間被稱爲給定向量張成的空間。擴展到三維也是一樣的。（前提是v和w不共線）
這裏需要記住：線性代數緊緊圍繞向量的加法和數乘法則。
- 線性相關、線性無關
比如二維空間內，v和w共線，就是w落在v的空間（線）上。表示w對張成空間沒啥貢獻，它可以由v來描述。我們稱v和w線性相關或者w可以寫成v的線性組合。
如果v和w都對張成空間有貢獻，每個都提供了一個維度，我們稱v和w線性無關。
最後：向量空間的一組基是張成該空間的一個線性無關向量集。
3 矩陣和線性變換
考慮上圖中的v=-1i+2j，其中i和j都是經過最原始的[1,0]和[0,1]變換之後的基向量，所以我們想要知道變換之後的i和j的線性組合得到v。其中變換後的i和j都是二維的基了，而它們變換的對象就是[-1,2],這是一個二維空間轉二維空間的變換，所變換的[-1,2]就會在其變換後的地方找自己會在哪裏。
4 矩陣乘法與線性變換複合
在這個圖上，[x,y]先經過旋轉矩陣，然後再經過剪切矩陣，這兩個變換可以合併成一個變換，也就是複合矩陣。兩個矩陣相乘有幾何意義，也就是兩個線性變換相繼作用。並且需要從右從左來作用。把剪切矩陣叫A，旋轉矩陣叫B，我們發現Ax表示A對x進行線性表換，而得到的x對應的向量所在位置（一個點），那麼AB呢？它表示B經過A的變換，得到自己各列對應向量所在位置（其實就是轉換空間，兩個點，但是原點是不變的）。Ax叫線性變換，AB叫線性複合變換。
- 那麼AB和BA不可以交換也就可以理解了？
- 那麼很自然的（AB）C=A（BC）也就很好理解，可以成立是因爲其還是一步一步進行的。他很好的解釋矩陣乘法具有結合性。
5 三維空間線性變換
- 一個三維矩陣的描述的線性變換？
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考慮這個矩陣，其實我們有着隱含的假設就是原本的i，j，k都是單位向量，經過這個變換之後，i到了k軸的-1位置，j不變，k到了x軸的1位置，這就是一個三維空間基向量轉換。
而要知道某個[x,y,z]變換後到了那裏，就用[x,y,z]乘以該矩陣即可。
而兩個三維矩陣乘積也就是兩個變換，基變換。這裏不涉及到把某個向量變換到某個點，你甚至可以理解爲左邊的第二個變換，把右邊的三個點分別變換到了另三個點。
7 行列式
7.1 內容
- 行列式的值決定了該變換對空間的縮放比例。
但是是爲什麼呢？是如何做到的呢？考慮一個最簡單的例子
二維空間中的行列式的值等於上圖中的黃色區域面積，這通過幾何知識去得到的。也就是ad-bc的結果，這是計算二維行列式的便捷方法，但是一定要明白它的由來。
7.2 問題
7.2.1 爲什麼只有方陣有行列式？
首先回顧行列式的標準定義。
n維方陣的行列式的絕對值，等於它的各個行（或列）向量所張成的n維立體的超體積。
那麼教材根本沒有非方陣的計算方式，不過我們可以解除方陣的計算技巧來嘗試給非方陣計算一個值。
可以參考這篇https://spaces.ac.cn/archives/2757給出的過程，給非方陣計算一個定義，而不是常規的定義。
對於一個n*n方陣，直接有其計算公式。而對於n*k矩陣，當n>k時，其肯定張不成一個n維體，這樣一來，它的n維體的超體積自然爲0。但其還是可能有值得，比如n-1維的存在“體積”。而對於n<k，其可以張成一個k維體，“體積”不一定爲0。不過我們可以藉助方陣行列式定義來計算，其公式爲
藉助該公式，我們可以計算非方陣在n>k情況下的值，直觀來說其還可以保留其幾何意義（需要證明）。舉個例子，對於n*2矩陣來說，行列式的幾何意義就是平行四邊形的面積，所以使用
得到。
而對於n<k，藉助該定義，但是需要稍微調換下轉置順序，得到
，因爲需要保留其幾何意義。(這也是非方陣的沒必要性，因爲其對應的線性轉換後的“體積”不是唯一的）再次參考該博客，可以得到（我們想要的一個解釋）
8 逆矩陣、列空間、秩、零空間
- 逆矩陣是幫助經過反變換得到原來的向量
- 列空間什麼？
比如3*4矩陣，那麼這個4就是其4列元素所張成的空間。
- 秩
秩表示經過該矩陣線性變換之後的維度。滿秩表示，還是原來列數目維度，
- 零空間
經過變換之後落在零向量的東西就是零空間，也就是Av=0的所有的解v。
9 非方陣（不同維的空間轉換）
- 這樣的一個非方陣會代表怎樣的線性變換呢？
它的幾何意義就是把二維空間映射到三維空間上的一個過原點的平面，這樣的線性變換是由兩個向量決定的也就是列空間是二維，但整個3*2的矩陣表示的是三維空間中的一個二維平面。
這個矩陣有兩列，表示初始由兩個基向量描述，但是有3行，表明每個基向量變換之後由3個獨立的座標描述。但它仍然是滿秩的，因爲輸入列空間和輸出列空間是同等的。
- 一個三維轉二維的例子
那麼對於一個2*3的矩陣來說，怎麼辦呢？ 它表示原來空間有3個基向量，然後2列每個變換後的基向量用兩個座標描述。也就是三維空間變換成二維空間。
- 又一個例子
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這是二維轉三維空間，但是注意是基向量的變換。而整個矩陣表示的是三維空間中的一個過原點平面，所以如果這個矩陣爲A，那麼Ax=b，b肯定會在這個平面上。而矩陣A也是滿秩的。
10 點積的幾何意義
終於理解點積的幾何意義了，首先點積是人們定義的某種運算，比如下圖
但它同時又有幾何意義，就是一個向量的長度乘以它在另一個向量上投影長度，所得就是點積結果。但是這個點積運算定義和幾何意義是如何關聯在一起的呢？
從向量的加法和數乘可以得到向量的乘法運算規則，但是我們發現，1*2的向量乘以2*1的向量得到結果和點積運算一樣的。 那麼是可以用向量乘法來解釋點積運算的幾何意義的。
首先向量乘法的本質是變換，也就是函數，而1*2的向量乘以2*1的向量會得到一個數，但是本質是跑不掉的，就是通過交換基向量實現變換，而這裏，剛好，變換後的一維空間數軸中單位向量的橫縱座標恰好就是這個1*2向量中兩個數，而2*1向量就當成函數的自變量x，得到它在數軸上的位置，剛好就需要矩陣變換（也就是向量乘法）得到。也就實現了一個2*1向量在另一個向量上（變換後數軸的單位向量）上的投影長度*該數軸單位向量長度，得到就是點積結果。
舉個例子[1,0]*[3,4]T等於3，表示[3,4]T在[1,0]上的投影長度爲3，這時候，[1,0]表示原來空間是二維的，現在變成一維的x數軸，y塌陷了，所以[3,4]T,只有投影長度=3了。3乘以單位向量長度1還是等於3。 如果[1,0]，換成[1,2]，那麼就表示原來空間是二維的，現在變成一維的數軸，x，y都到了[1,2]向量箭頭所成的數軸上。這個數軸的單位向量長度就是√5，那麼[3,4]在其上的位置就是通過[1,2]*[3,4]T得到，也就是[3,4]T在[1,2]上的投影長度*[1,2]所代表數軸單位向量長度，可以驗算的，是正確的。
利用的是對偶性，一個多維到一維空間的轉換，恰好就是多維空間中的某一個向量。
11 叉積的幾何意義
如何從線性變換的角度理解叉積，可以有如下計劃。
叉積還是沒懂，對不起。
13 基變換
給出了兩個擁有自己基向量的座標系，如何對同一向量進行轉換。就算變換，其原點還有座標軸的等距分佈都是一樣的。
比如上圖的二維向量就表示是我們把單位向量i，j變換基了。
舉個例子，我們是單位向量i，j，用我們的語言描述詹妮弗的基向量就是左邊的的矩陣，那麼對於用她的座標描述的向量，如何轉換爲用我們的座標描述的相同變量呢？ 直接用該矩陣，然後進行矩陣乘法。 上圖就是
那用我們的座標描述的向量，如何轉換爲用詹妮弗的座標描述的向量呢？直接對矩陣求逆，然後進行矩陣乘法。
深入想一下，對於網絡傳播樹中不同的的點來說。它可以擁有自己的座標系，這個座標系的維度就是其分支數目，那麼刻畫不同維度的分支所構成的（體積、或者面積、或者什麼的）。
14 特徵值和特徵向量
14.1 問題
首先Ax=b,表示A對x進行線性變換，然後b是x經過變換基向量得到的向量。而Ax=mx，表示A對x進行線性變換後，只是對x進行伸縮而已。那麼如果m存在，x表示的是A線性變換中不變的量（比如直線、旋轉軸、），也叫特徵向量，而特徵值則表示對其伸縮的程度而已。比如二維向量A求其特徵向量，就是求一條直線，該直線在線性變換隻是伸縮而已。
15 抽象向量空間
向量是什麼？我們看似用向量去理解線性變換，但是事實上，而行列式以及特徵向量都跟你選擇的座標系無關。所有長的像向量並滿足相加和數乘法則的一些數，都可以認爲是向量的運算，也就是矩陣線性變化，比如求導這種事情也可以和線性變換一樣的。求導是將一個函數（向量）經過求導（線性變換）變成另一個函數（向量）。
比如這裏，兩個函數的相加得到一個新函數也可以理解爲兩個向量的相加得到一個新向量，數乘也一樣。那麼在微積分中的求導跟矩陣變換有什麼關係呢？
事實上，它也可以用矩陣變換來代替。那什麼是線性變換呢？
那我們就可以理解，求導也是線性的。因爲它滿足可加和數乘法則，比如
那如何用矩陣描述求導呢？
這個圖告訴我們答案了，某個多項式的求導是這裏A對x的變換，其中基函數就是那麼未知數之前的係數，我們在上圖，我們完成了用矩陣線性變換進行求導的過程，只需要定義基函數以及找到A，多麼神奇。很明顯，其對冪函數不成立。
那麼矩陣變換在數學中都有其描述。
本系列暫時結束，但是後續就靠《線性代數及其應用》續命。