關於位姿變換概念的一道筆試題

題目內容

已知相機在0時刻的位姿 $T_0=(R_0,t_0)$，以及當前時刻的位姿$T=(R,t)$，求在以0時刻的相機座標系作爲參考系，當前時刻的位姿表達式$T'$。

求解

1.位姿的概念

平移：世界座標系下在原點的一個點 $p(座標爲0)$ 向 $x$ 軸正方向運動了 $t$ 的距離，那麼它在世界座標系下座標變爲 $t$，在當前座標系下的座標爲 $0$ ，座標系的位姿平移部分爲$t$。

旋轉：
同一個向量 $a$ 在不同的兩個座標系中座標爲 $[a_1,a_2,a_3]^T$ 和 $[a_1',a_2',a_3']^T$ 滿足下面的關係：
$[e_1,e_2,e_3]\left[ \begin{array}{ccc} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3}\end{array} \right] =[e_1',e_2',e_3']\left[ \begin{array}{ccc} a_{1}' \\ a_{2}' \\ a_{3}'\end{array} \right]$
將上式進行化簡，可以得到：
$\left[ \begin{array}{ccc} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3}\end{array} \right] =R\left[ \begin{array}{ccc} a_{1}' \\ a_{2}' \\ a_{3}'\end{array} \right]$
上面這個 $R$ 就是位姿中旋轉的那部分。

所以，當告訴了我們當前位姿爲 $(R,t)$ 時，我們可以計算出世界座標系下某點的座標 $p_w$:
$p_w=Rp+t$

2.題目計算

根據上面的解釋，我們假設 $T'=(R',t')$，有下面的等式：
$R_0(R'x+t')+t_0=Rx+t$
計算後可以得到$T'=(R',t')=(R_0^TR,R_0^Tt-R_0^Tt_0)$