关于位姿变换概念的一道笔试题

题目内容

已知相机在0时刻的位姿 $T_0=(R_0,t_0)$，以及当前时刻的位姿$T=(R,t)$，求在以0时刻的相机座标系作为参考系，当前时刻的位姿表达式$T'$。

求解

1.位姿的概念

平移：世界座标系下在原点的一个点 $p(座标为0)$ 向 $x$ 轴正方向运动了 $t$ 的距离，那么它在世界座标系下座标变为 $t$，在当前座标系下的座标为 $0$ ，座标系的位姿平移部分为$t$。

旋转：
同一个向量 $a$ 在不同的两个座标系中座标为 $[a_1,a_2,a_3]^T$ 和 $[a_1',a_2',a_3']^T$ 满足下面的关系：
$[e_1,e_2,e_3]\left[ \begin{array}{ccc} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3}\end{array} \right] =[e_1',e_2',e_3']\left[ \begin{array}{ccc} a_{1}' \\ a_{2}' \\ a_{3}'\end{array} \right]$
将上式进行化简，可以得到：
$\left[ \begin{array}{ccc} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3}\end{array} \right] =R\left[ \begin{array}{ccc} a_{1}' \\ a_{2}' \\ a_{3}'\end{array} \right]$
上面这个 $R$ 就是位姿中旋转的那部分。

所以，当告诉了我们当前位姿为 $(R,t)$ 时，我们可以计算出世界座标系下某点的座标 $p_w$:
$p_w=Rp+t$

2.题目计算

根据上面的解释，我们假设 $T'=(R',t')$，有下面的等式：
$R_0(R'x+t')+t_0=Rx+t$
计算后可以得到$T'=(R',t')=(R_0^TR,R_0^Tt-R_0^Tt_0)$