【省選模擬】20/05/29

$A$

• 從父親繼承線性基，每一位保留深度最大的點，$Code$

$B$

• 考慮二分這個 $k$，我們暴力建出圖，用 $hash$ 來判重和連邊，合法當且僅當沒有環，考慮怎麼輸出方案，首先可以在 $dag$ 貪心出每個點向後的最長鏈，只需要考慮起點，發現需要支持比較兩個串的字典序，選好起點之後在 $dag$ 上貪心選最小的後繼即可，$Code$

$C$

• 首先考慮在上方 $d$ 走了不超過半圈的情況，簡單推導可以得到就是積這麼一個東西

$\int_{a}^{b} d*(\frac{\cos(\frac{x}{R})}{\cos(\frac{x}{R}+\alpha)}-1)\text{d}x\\=\int_{a+d}^{b+d} d*(\frac{\cos(\frac{y}{R}-\alpha)}{\cos y}-1)\text{d}y\\ \int_{a+d}^{b+d} d*(\cos \alpha+\tan \frac{y}{R}\sin \alpha-1)\text{d}y$$\int d*(\cos \alpha+\tan \frac{y}{R}\sin \alpha-1)\text{d}y\\=d(\cos\alpha \frac{y}{R}-R\sin\alpha \ln(\cos \frac{y}{R})-\frac{y}{R})\\=d((\cos\alpha-1)\frac{x}{R}-R\sin\alpha\ln(\cos (\frac{x+d}{R}))$

• 下面考慮轉了多圈的情況（準確的說是多個半圈，因爲在圓的兩半計算方式是不同的）
  如果積分的兩個點滿足走 $d$ 步後在同一個半圓，那麼它們的貢獻可以一起算，我們只需要根據半圓的奇偶性來減掉圈數乘上週長的積分
  $\int _{a}^b\cos(\frac{x}{R})C\text{d}x$
  若積分區間在同一個圓但不是一個半圓，我們需要二分出半圓的分界點，$Code$