狄利克雷卷积
约定
n=p1a1p2a2⋯prar
a∣b: a整除 b
a∤b: a不整除 b
ak∥b: ak∣b且 ak+1∤b
(a,b)最大公约数
[a,b]最小公倍数
定义
h(n)=d∣n∑f(n)g(dn)=d1d2=n∑f(d1)g(d2)
也可写作:
h=f∘g
这相当于一种运算。
性质
结合律
(f∘g)∘h=f∘(g∘h)
证明
(f∘g)∘h=∑d1∣n{∑d2∣d1f(d2)g(d2d1)}g(d1n)=∑d1d2d3=n(f(d1)g(d2))g(d3)=∑d1d2d3=nf(d1)(g(d2)g(d3))=f∘(g∘h)
证毕
交换律
f∘g=g∘f
证明
f∘g=d1d2=n∑f(d1)g(d2)=d1d2=n∑g(d1)f(d2)=g∘f
证毕
逆元
对于 f存在 g使
f∘g=ϵ(n)
其中
ϵ(n)=[n=1]
证明
g(n)=f(1)1⎝⎛[n=1]−i∣n,i̸=n∑f(i)g(in)⎠⎞
如此一来
d∣n∑f(d)g(dn)=f(1)g(n)−d∣n,d̸=1∑f(d)g(dn)=[n=1]
证毕
分配率
f∘(g+h)=f∘g+f∘h
证明
f∘(g+h)=d1d2=n∑f(d1)(g(d2)+h(d2))=d1d2=n∑f(d1)g(d2)+d1d2=n∑f(d1)h(d2)=f∘g+f∘h
数乘结合律
(s⋅f)∘g=s⋅(f∘g)
证明
(s⋅f)∘g=d1d2=n∑(s⋅f(d1))g(d2)=sd1d2=n∑f(d1)g(d2)
证毕
积性的传递性
若 f(n),g(n)为积性 h=f∘g也是积性的
h(nm)=∑d∣nmf(d)g(dnm)=∑a∣n,b∣mf(ab)g(abnm)=∑a∣n,b∣mf(a)g(an)f(b)g(bm)={∑a∣nf(a)g(an)}{∑b∣mf(b)g(bm)}=h(n)h(m)
证毕
f积性则 f−1积性
证明
设 nm>1时有 n′m′<nm,g(n′m′)=g(n′)g(m′)成立
f(n)的逆元 g(n)=f(1)1([n=1]−∑i∣n,i̸=nf(i)g(in))
g(nm)=−∑d∣nm,d̸=1f(d)g(dnm)=−∑a∣n,b∣m,ab̸=1f(ab)g(abnm)=f(1)f(1)g(n)g(m)−∑a∣n,b∣m,ab̸=1f(a)f(b)g(an)g(bm)=g(n)g(m)−{∑a∣n,a̸=1f(a)g(an)}{∑b∣m,b̸=1f(b)g(bm)}=g(n)g(m)−ϵ(n)ϵ(m)=g(n)g(m)
证毕
应用
我们总可以证明求一个狄利克雷卷积的复杂度是 O(nlnn)的。