數學分析學習(二)

實數

實數相關的理論，主要是數集的上下界，確界定理及其證明(重要)

0x00: $\sqrt{2}是無理數$

有理數被定義爲$(p,q)=1，且q \not = 0$。p和q是最簡分數。
證明$\sqrt{2}$是無理數，這裏採用反證法。
證明：假設$\sqrt{2}$是有理數。$\sqrt{2} = \frac{p}{q}，(p,q)=1,q \not = 0$。兩邊平方後$2p^2 = q^2$。這個式子表明q有約數2。並且是一個偶數。令$q = 2k$，則得到$p^2 = 2k^2$，這時候p也是偶數，同時p有約數2。這意味這p和q都有公約數2。不符合有理數定義，所以假設不成立，也就是說$\sqrt{2}是無理數$。

0x01:確界定理

確界定理是一個相當重要的定理，它可以保證實數的連續性。最重要的是對於極限的運算是封閉的。

最大數定義

設$S$是一個非空數集，存在$\xi \in S$，對於任意的$x \in S$都有$x \le \xi$，則稱$\xi$是S的最大數

最小數定義

設$S$是一個非空數集，存在$\eta \in S$，對於任意的$x \in S$都有$x \ge \eta$，則稱$\eta$是S的最大數

上界定義

設$S \subseteq \mathbb{R}$是一個非空數集，存在$M \in \mathbb{R}$，對於任意的$x \in S$都有$x \le M$，則稱$M$是S的一個上界

下界定義

設$S \subseteq \mathbb{R}$是一個非空數集，存在$m \in \mathbb{R}$，對於任意的$x \in S$都有$x \ge m$，則稱$m$是S的一個下界
通過定義可知，最大(小)數和上(下)界的一個區別是，最大(小)數是在集合S中，上(下)界則不一定在集合S中。

上確界

上確界可以定義爲由所有上界構成的集合中最小的一個。
設$S \subseteq \mathbb{R}$是一個非空數集，存在$\beta \in \mathbb{R}$，$\beta$作爲S的上確界滿足以下兩個條件：
(1)$\beta$是上界。即對於任意的$x \in S$都有$x \le \beta$
(2)對於任意的$\epsilon > 0$，存在$x \in S$，都有$x > \beta - \epsilon$

下確界

下確界可以定義爲由所有下界構成集合中最大的一個。
設$S \subseteq \mathbb{R}$是一個非空數集，存在$\alpha \in \mathbb{R}$，$\alpha$作爲S的下確界滿足以下兩個條件：
(1)$\alpha$是下界。即對於任意的$x \in S$，都有$x \ge \alpha$
(2)對於任意的$\epsilon > 0$，存在$x \in S$，都有$x < \alpha + \epsilon$

確界定理

如果一個集合有上(下)界，則它必定有上(下)確界。

確界定理的證明

書上的證明思想主要是構造一個實數，再證明這個實數是上確界。

證明：

設S是一個非空數集($S \subseteq \mathbb{R}$)，那麼S中的實數可以表示成這樣$x = [x]+(x)$，$[x]$表示實數的整數部分，$(x)$表示實數的非負小數部分。
那麼集合可以表示爲:
$\{x | x = \alpha_0+0.\alpha_1\alpha_2\alpha_3\alpha_4···\alpha_n···,x \in \mathbb{R}\}$

構造上確界：

考慮一個集合$S_0$，$S_0 \subseteq S$，$S_0$的元素是由S集合中整數部分最大的實數組成(由於集合$S$有上界)，可以表示爲：

$S_0=\{x| x \in S,\alpha_0 = [x],且\alpha_0爲S中整數部分最大的實數\}$
$S_0$集合有兩個特性：
(1)$S_0 \subseteq S$
(2)$存在x，x \in S，x \notin S_0，有x < \alpha_0$

$S_1=\{x| x \in S_0,S_0中小數部分第1位小數最大的實數\}$
$S_1$集合有兩個特性：
(1)$S_1 \subseteq S_0$
(2)$存在x，x \in S，x \notin S_1，有x < \alpha_0+0.\alpha_1$

$S_2=\{x| x \in S_1,S_1中小數部分第2位小數最大的實數\}$
$S_2$集合有兩個特性：
(1)$S_2 \subseteq S_1$
(2)$存在x，x \in S，x \notin S_2，有x < \alpha_0+0.\alpha_1\alpha_2$

$S_3=\{x| x \in S_2,S_2中小數部分第3位小數最大的實數\}$
$S_3$集合有兩個特性：
(1)$S_3 \subseteq S_2$
(2)$存在x，x \in S，x \notin S_3，有x < \alpha_0+0.\alpha_1\alpha_2\alpha_3$
$...$
$...$
$...$
$S_n=\{x| x \in S_{n-1},S_{n-1}中小數部分第n位小數最大的實數\}$
$S_n$集合有兩個特性：
(1)$S_{n} \subseteq S_{n-1}$
(2)$存在x，x \in S，x \notin S_n，有x < \alpha_0+0.\alpha_1\alpha_2\alpha_3···\alpha_n$
$...$
$...$
$...$
這樣的選取可以一直持續下去，得到$\alpha_0+0.\alpha_1\alpha_2\alpha_3···\alpha_n···$
記做$\beta$

一.證明$\beta$是上界：

(1)$x \in S，存在n_0，x \notin S_{n0}，有x < \alpha_0+0.\alpha_1\alpha_2\alpha_3···\alpha_{n0}$
立即得到如下不等式：
$x < \alpha_0+0.\alpha_1\alpha_2\alpha_3···\alpha_{n0} \le \beta$
(2)對於任意的n，$x \in S_n$有$x = \beta$
$\Downarrow$
$x \le \beta$

二.證明$\beta$是上確界

根據定義$\epsilon$可以任意取，存在${n_0}$，有$\epsilon > \frac{1}{10^{n_0}}$
可以推出如下不等式：$\beta - x_{n0} \le \frac{1}{10^{n_0}} < \epsilon$
$\Downarrow$
$\beta - x_{n0} < \epsilon$
$\Downarrow$
$x_{n0} > \beta - \epsilon$
到這一步就可以證明構造出來的$\beta$是最小上界，即上確界。那麼確界定理得證。