5.運籌學復刻 之 單純形法原理

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一：對偶定理

1.弱對偶定理：

對原問題和對偶問題的任意可行解(x,y)，極小化問題的值大於等於極大化問題的值

證明：
已知 max Z = C^Tx; min W = by^T
且不等式： Ax = b ; y^TA >= C^T
所以： Z = C^Tx <= y^TA x = y^Tb =W
即： Z<=W
得證

2.弱對偶的推論：

當極小化問題的解Z = 極大化問題的解W時
認爲這個值是極小化問題和極大化問題的解（對偶條件下）

證明：
假設此刻Z表示的是Z的目標函數值（最大值）
Z = C^TX* <= W = y^Tb （任意y值）
假設此刻 Z* = y*^Tb，即Z的最大值等於W的最小值
所以得到y就是最小值，W就是對應的最小值

3.對偶定理：

a.原問題的最優解 X，則對偶問題的最優解爲y（表達式見下面）
	且原問題和對偶問題的最優值相等  

y = B^-Tc_B

證明：
a. y = B^-Tc_B是對偶問題的可行解
b. Z = W

a.因爲y = B^-Tc_B，則：y^T A= B^-1C_B^TA
又因爲在原始問題中 x 是最優解，且是最大值，所以 z_j-c_j>=0
所以： B^-1C_B^TA - C^T >= 0
即： y^TA >= C^T，滿足了對偶問題的要求
所以得證是可行解

b.
Z = C_B^TB^-1b
W = y^Tb = Z
所以 Z = W
得證

b.原問題有 無界解，則對偶問題 無可行解

證明:
Z -> +∞；又 W>=Z
所以：對偶問題無可行解

4.最優解的充分必要條件

已知 x，y 分別是 原問題和對偶問題的可行解
那他們是最優解的充分必要條件

（1）X_j > 0 => y^Ta_j = C_j
（2）X_j = 0 <= y^Ta_j > C_j

等價於 X_j(y^Ta_j - C_j) = 0

證明：
1.必要性： 已知最優 ⇒ X_j(y^Ta_j - C_j) = 0
最優則：Z = W
即：C^TX = Y^Tb
故：(Y^TA-C^T)X = 0
2.充分性：已知X_j(y^Ta_j - C_j) = 0 ⇒ 最優
由已知，則：(Y^TA-C^T)X = 0
即： Z = W
則：最優

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二：經濟學解釋

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