線性代數筆記 2 - 矩陣的初等變換

矩陣的初等變換
初等行變換：

1. 對換兩行，對換i，j 兩行，記作：$r_i \harr r_j$
2. 以一個不等於 k 的數乘某一行中的所有元，第 i 行乘與 k 記作：$r_i \times k$
3. 把某一行的 n 倍加到另一行對應的元上去，第 j 行的 k 倍加到第 i 行上去，記作：$r_i+kr_j$

將上述定義中的 “行” 換成 “列” ，即得初等列變換得定義。
初等行變換和初等列變換，統稱爲初等變換。
矩陣得初等變換都是可逆得，其逆變換都是同一類型得變換，逆變換可以記作：
$r_i \harr r_j 得逆變換是其本身\\ r_i*k \ 其逆變換爲\ r_i \times({{1} \over{k}}) \\ r_i + kr_i \ 的逆變換是r_i +(-k)r_i$
如果矩陣 A 間經過有限次初等變換就可以變成矩陣 B，那麼稱爲矩陣 A 和矩陣 B 等價，記作：
$A \sim B$

矩陣之間的等價關係具有如下的性質:
$性質 \begin {cases} 反身性 \ A \sim A \\ 對稱性 \ 若A \sim B ，則 B \sim A \\ 傳遞性 \ 若 A \sim B，B \sim C，則\ A \sim C \end{cases}$
多元方程求解的消元和回代過程都可以用矩陣初等行列式的變化來完成。
若干概念：

• 首非零元
• 行階梯形矩陣$A$
• 行最簡形矩陣
• 初等矩陣

任何一個非零矩陣，都可以在有限次數的等行變換後，變爲行階梯型矩陣和行最簡型矩陣。（這一個變換過程，就是就是解方程組的過程）（初等變換的過程其實就是，原矩陣和一個初等矩陣的相乘的過程，初等矩陣左乘原矩陣相當於行變換，初等矩陣右乘原矩陣相當於列變換 ）

定理：
設A與B爲 m $\times$ n 階矩陣，那麼：

1. A～B 的充分必要條件是存在 m 階可逆矩陣 P，使 PA = B
2. A～B 的充分必要條件是存在 n 階可逆矩陣 Q，使 AQ = B
3. A ～B 的充分必要條件是存在 m 階可逆矩陣 P 及 n 階可逆矩陣 Q，使PAQ = B

矩陣初等變換的性質：

1. 設 A 是一個 m$\times$n 矩陣，對 A 施行一次初等行變換，相當於在 A 的
   左邊乘相應的 m 階初等矩陣
   ；對 A 施行一次初等列變換，相當於在 A 的右邊乘相應的 n 階初等矩陣
2. 方陣 A 可逆的充分必要條件是存在有限個初等矩陣 P₁，P₂，…，P_i，使 A = P ₁ P₂ …

矩陣的秩
非零子式的概念（第六版P66）
設 A 行等價於 B ，則 A 與 B 中非零子式的最高階數相等
設在矩陣 A 中有一個不等於 0 的 r 階子式 D，且所有 r+1 階子式
（如果存在的話）全等於 0，那麼 D 稱爲矩陣 A 的最高階非零子式，數 r 稱爲矩陣
若A ~ B ，則 R(A) = R(B)
A 的秩，記作 R（A）.並規定零矩陣的秩等於 0
關於矩陣的秩的性質：

1. 由於 R(A)是 A 的非零子式的最高階數，因此，若矩陣 A 中有某個s 階子式不爲 0，則 R(A) ≥ s；若 A 中所有 t 階子式全爲 0，則 R(A)＜ t
2. 若 A 爲 m×n 矩陣，則 0 ≤ R(A) ≤ min{m,n}.
3. 行列式與其轉置行列式相等，因此 A^T 的子式與 A 的子式對應相等，從而 R(A^T = R(A).
4. 對於 n 階矩陣 A，由於 A 的 n 階子式只有一個 |A|，故當 |A| ≠ 0 時 R(A) = n，當 |A| = 0 時 R(A)＜n.可見可逆矩陣的秩等於矩陣的階數，不可逆矩陣的秩小於矩陣的階數.因此，可逆矩陣又稱滿秩矩.陣，不可逆矩陣（奇異矩陣）又稱降秩矩陣.
   ① 0 ≤ R (A_m$\times$n) ≤ min {m,n}
   ② R(A^T)= R (A)
   ③ 若 A～B，則 R (A)= R (B)
   ④ 若 P、Q 可逆，則 R(PAQ) = R (A)
   ⑤ max {R (A) ，R (B)} ≤ R (A,B) ≤ R (A) + R (B)
   ⑥ R(A+B) ≤ R(A) + R(B)
   ⑦ R (AB) ≤ min { R(A), R(B) }
   ⑧ 若 A_m$\times$n B_{n $\times$ 1} = O，則 R(A) + R(B) ≤ n

線性方程組的解
定理：
n 元線性方程組 Ax =b
5. 無解的充分必要條件是 R（A）＜R（A，b）；
6. 有惟一解的充分必要條件是 R（A）= R（A，b）= n；
7. 有無限多解的充分必要條件是 R（A）= R（A，b）＜n

n 元齊次線性方程組 Ax =0有非零解的充分必要條件是 R (A)＜n
線性方程組 A x = b 有解的充分必要條件是 R (A)= R (A,b)
矩陣方程AX = B 有解的充分必要條件是 R (A) = R( A,B )