線性代數筆記 1 - 行列式及行列式的求解

行列式的三個定義以及七個性質：
行列式有三個常見定義:

$三個性質\begin{cases} 1.柯西定義 \\ 2.逆序數定義 \\ 3.展開式法定義 \\ \end{cases}$

1. 柯西的幾何法定義（二位平面向量構成的平行四邊形，三維向量構成的方體，然後推導到n 階行列式是由n 維向量構成的n 維多邊體的體積）
   重要觀點：
   $D_n =|A_{n*n}|\begin{cases}\ \ \not=0 \rArr n個n 維向量全獨立（線性相關） \\ =0 \rArr n個n維向量不獨立（線性無關）\\ \end{cases}$

2. 範德蒙柯西逆序數法(著名的範德蒙行列式)

3. 克拉默展開式法（可以用來求解多元函數）

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行列式的七條性質，是行列式計算的基礎，只有牢牢記住這七條性質，纔可以靈活的計算行列式的值：

$七個性質\begin{cases} 1、行列式轉置後值不變 \\ 2、行列式，某兩行（列）交換，符號改變 \\ 3、行列式，某一行（列）加上其他一行（列）的倍數，值不變\\ 4、行列式，某一行（列）倍乘k，行列式變成原來的k倍\\ 5、行列式，某兩行（列）成比例或相等，行列式爲0\\ 6、行列式，某一行（列）爲0，行列式爲0\\ 7、對角陣行列式，值等於主對角線元素相乘的乘積\\ \end{cases}$

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行列式的求解：
$行列式的求解\begin{cases} 三階四階行列式的求解\\ n\ 階行列式的求解 \end{cases}$
n 階行列式的求解方法通常有：

• 消0化三角法
• 消0降階法
• 拆項法
• 加邊法
• 範式
• 遞推法&數學歸納法

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