08. 矩陣的四個基本子空間

四個子空間的符號表示

設有矩陣A，設矩陣的秩爲r
四個子空間如下

• 列空間C(A)
• 行空間C(AT)
• 零空間N(A)
• 左零空間N(AT)

列空間

我們已經很熟悉列空間了
我們可以很容易地找到列空間的一個基
矩陣的所有主列就是一個基向量
所以列空間的基有r個基向量，列空間的維數等於秩r
結論1：列空間維數等於秩

行空間

對於矩陣A，其行最簡形式R的前r行就是矩陣的行空間的一個基
所以行空間的維數也爲r
結論2：行空間維數等於秩

零空間

零空間的一個基就是Ax=0 的所有特殊解
而特殊解一共有n-r個，所以零空間的維數等於n-r
結論3：零空間維數等於列數減去秩

左零空間

轉置矩陣的秩等於原矩陣的秩

假設AT 的秩用r’表示
對AT 使用結論1，C(AT) 維數爲r’
對A 使用結論2，C(AT) 維數爲r
得到r = r’
於是得到
結論4：轉置矩陣的秩等於原矩陣的秩

左零空間的維數等於m-r

由於A的左零空間等價於AT 的零空間，而AT 的零空間的維數等於m-r
得到
結論5：左零空間的維數等於m-r

一個基

對於矩陣A，左零空間的每個向量都是方程ATy=0 的解
設矩陣A是m行n列，使用Am∗n 表示，那麼
構造行最簡形式的過程這麼表示Am∗n→Rm∗n
構造這樣的矩陣[Am∗nIm∗m]
將A部分構造成行最簡形式的過程
[Am∗nIm∗m]→[Rm∗nEm∗m]
Em∗m 矩陣記錄了化簡過程中的所有步驟
因爲行變換其實等價於左乘一個矩陣，而這裏左乘的矩陣就是Em∗m
Em∗m∗[Am∗nIm∗m]=[Rm∗nEm∗m]
即我們得到Em∗m∗Am∗n=Rm∗n
由於A的秩爲r，所以R的底部有m-r個零行
而每個零行都是A矩陣的行的線性組合得到，而這m-r個線性組合的參數對應於E的底部m-r個行向量
所以，對於E底部的m-r個行向量，每一個都是ATy=0 的解
並且由於E是由單位矩陣行變換而來，這m-r個行向量線性無關
於是這m-r個向量便構成了左零空間的一個基