01. 矩陣乘法

定義

考慮一個矩陣乘法問題

A∗B=C

設A爲m行n列的矩陣，B爲n行p列的矩陣，那麼C爲m行p列的矩陣
設Ci,j 爲矩陣C的i行j列的元素，用Ai 表示A的第i行所代表的向量，用Bj 表示B的第j列所代表的向量,則

Ci,j=Ai∗Bj

上式中的乘號代表向量內積
比如

A=[1 221]Ｂ=[5 321]

那麼，C1,1 的計算式子爲

C1,1=[12]∗[5 3]=1∗5+2∗3=11

使用定義計算完整的解

[1 221][5 321]=[11 1345]

列

上述的矩陣乘法，我們重新將A視爲兩個列向量a1,a2 ，將C視爲兩個列向量c1,c2 ，也就是說，A∗B=C 可以理解爲

[a1a2][5 321]=[c1c2]

寫成上式後我們可以很輕鬆的得到一個矩陣乘法的列的表示方法
c1 就是a1,a2 的一個線性組合，且這個線性組合的參數就是5，3
c2 就是a1,a2 的一個線性組合，且這個線性組合的參數就是2，1
公式化表示就是

c1=a1∗5+a2∗2 c2=a1∗2+a2∗1

也就是說，C中的所有列都是A中的所有的列的一個線性組合

行

重新將矩陣B視爲行向量b1,b2 ，將矩陣C視爲行向量c1,c2
那麼得到矩陣乘法A∗B=C 新的表示方法

[1 221][b1 b2]=[c1 c2]

c1 就是b1,b2 的一個線性組合，且這個組合的參數爲1,2
c2 就是b1,b2 的一個線性組合，且這個組合的參數爲2,1
公式化表示就是

c1=b1∗1+b2∗2 c2=b1∗2+b2∗1

也就是說，C中的所有行都是B中的所有的行的一個線性組合