線性代數專題複習

一.轉置和逆矩陣

①

$(AB)^T=B^TA^T$

證明：

感覺這個不好直接證明，求和符號一坨一坨的，但是闊以弄個直觀一點不是直接把轉置符號拿進去的：
比如A，B都是$n\times 1$的列向量，現在$AB^T$就是一個$n\times n$的矩陣，那麼$(AB^T)^T$是多少喃？反正肯定不是$A^TB$，因爲這樣子是一個$1\times 1$的矩陣了，而反一哈$B^TA$就是一個$n\times n$的矩陣，稍微要對一些

②

$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

證明：

$(AB)^{-1}AB=E$
兩邊同時右乘一個$B$變成：
$(AB)^{-1}A=B^{-1}$
兩邊再同時右乘一個$A$變成：
$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
這樣就搞定了，與轉置比較統一，感覺挺爽的~

推廣：

$(ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}$

③

$(A+B)^T=A^T+B^T$
這個還很容易理解，寫這個是因爲逆矩陣沒有對應的樣子。。。

④

$(A+B)^{-1}=???$
爲啥沒有喃？看別的小夥伴說，假如不是矩陣是數的話都不怎麼對
$\frac{1}{a+b}$≠$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$

所以是沒有這個的，感覺好不爽啊~
如果非要找一哈$(A+B)^{-1}$是多少的話，也闊以
$(A+B)^{-1}=[B(B^{-1}A+E)]^{-1}=[B(B^{-1}+A^{-1})A]^{-1}=A^{-1}(A^{-1}+B^{-1})^{-1}B^{-1}$

二.分塊矩陣的結論

①行列式

主對角線

$\begin{vmatrix} A & O\\ *&B \end{vmatrix}=|A||B|$

副對角線

$\begin{vmatrix} O& A\\ B&* \end{vmatrix}=(-1)^{nm}|A||B|$
$A,B$分別是nxn,mxm的方正

②逆矩陣

主對角線

$\begin{bmatrix} A&O \\ O&B \end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} A^{-1} &O \\ O&B^{-1} \end{bmatrix}$

副對角線

$\begin{bmatrix} O&A \\ B&O \end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} O &B^{-1} \\ A^{-1}&O \end{bmatrix}$

三.關於行列式的一些結論

①：

$|A^*|=|A|^{n-1}$

證明：

$A^*A=|A|E$
所以同時加行列式：
$|A^*||A|=|\ |A|E\ |$
而$|\ |A|E\ |=|A|^n$
所以：$|A^*||A|=|A|^n$
所以：$|A^*|=|A|^{n-1}$

②：

$|A^*(A^*)^*|=|A|^{n(n-1)}$

證明：

因爲$A^*=|A|A^{-1}$，把$(A^*)$看成$A$，就有$(A^*)^*=|(A^*)|(A^*)^{-1}$
所以$A^*(A^*)^*=|A^*|E$
而$|A^*|=|A|^{n-1}$
所以原式=$||A|^{n-1}E|=(|A|^{n-1})^n=|A|^{n(n-1)}$

③：

$(A^*)^*=|A|^{(n-2)}A$

證明：

闊以由上面$A^*(A^*)^*=|A^*|E$得$(A^*)^*=(A^*)^{-1}|A^*|E$
而$(A^*)^{-1}=\frac{A}{|A|}$，$|A^*|=|A|^{n-1}$
所以$(A^*)^*=|A|^{(n-2)}A$
$|(A^*)^*|=|A|^{(n-1)^2}$

證明：

闊以由上面得，只用除掉一個$|A^*|$就行

④：

$a_{ij}=A_{ij}\Rightarrow A^*=A^T$
$A_{ij}爲a_{ij}的代數餘子式$

⑤：

若$a_{ij}=A_{ij}$，$A$爲非零實矩陣則闊以有以下幾個結論：
$①：A^*=A^T$
$②：|A|=1$
$③：A是正交矩陣$
因爲$AA^*=AA^T=|A|E$，而$|A|=1$,所以$AA^T=1$，所以是正交的

四.關於秩的一些結論

①：

$r(A+B)\leqslant r(A)+r(B)$

②：

$r(AB)\leqslant min(r(A),r(B))$

③：

$A$爲$m\times n$的，$B$爲$n\times p$的，則：
$r(AB)>=r(A)+r(B)-n$
特別地，當$AB=O$時
$r(A)+r(B)\leqslant n$

④：

$r\begin{pmatrix} A&O \\ O&B \end{pmatrix}=r(A)+r(B)$

⑤：

$A$可逆，則有：
$r(AB)=r(BA)=r(B)$

證明：

理解一哈就行，$A$如果是可逆的，那麼$A$肯定就是滿秩，那麼不管是對$B$左乘還是右乘，都是作行變換或列變換不改變$B$的秩，因此就還是$B$的秩

五.習題遇到的證明題

①：
$A是二階方陣，A^n=O，證明:A=O$

證明：

$\because A^n=0$
$\therefore r(A)\leq1$
當$r(A)=0$時顯然成立
當$r(A)=1$時，設$A=\alpha\beta^T$
$A^2=\alpha\beta^T\alpha\beta^T=\alpha(\beta^T\alpha)\beta^T$
$\because \beta^T\alpha$是一個數
$\therefore A^2=(\beta^T\alpha)\alpha\beta^T=(\beta^T\alpha)A$
$\therefore A^n=(\beta^T\alpha)^{n-1}A$
$\therefore A=O$

六.相似矩陣

結論

①：
如果矩陣相似，那麼特徵值相同，反過來，如果特徵值相同，卻不一定相似，除非是都是對稱矩陣