【线性代数（2）】n阶行列式三种定义

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1. 回顾

先回顾一下之前的三阶行列式，看一下其中的规律
$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}= a_{11}*a_{22}*a_{33}+a_{12}*a_{23}*a_{31} +a_{13}*a_{21}*a_{32}-a_{13}*a_{22}*a_{31}-a_{12}*a_{21}*a_{33}-a_{11}*a_{23}*a_{32}$

观察一下最后的运算结果，也就得出了三阶行列式展开的定义

• 行标：取标准排列（全部都是123）
• 列标：取排列的所有可能，从不同行不同列中取出三个元素相乘，符号是由列标排列的奇偶性决定的，详情如下

运算符号	元素下标	逆序数
+	123	0
+	231	2
+	312	2
-	321	3
-	213	1
-	132	1

2. n阶行列式

2.1 第一种定义（按行展开）

三阶行列式展开定义的推广，也就是行标取标准排列，列标取排列的所有可能，从不同行不同列中取出n个元素相乘，符号是由列标排列的奇偶性决定的，共有 $n!$ 项，公式如下：

$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\ .& .& . . .& .\\ a_{n1} & a_{n2} & ... &a_{33} \end{vmatrix}= \sum_{j_{1}j_{2}...j_{n}}{(-1)}^{N(j_{1}j_{2}...j_{n})}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}...a_{nj_{n}}$

其中：

$a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}...a_{nj_{n}}$ 等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积；

$N(j_{1}j_{2}...j_{n})$ 表示列标的逆序数（奇偶性）；

$\sum_{j_{1}j_{2}...j_{n}}$ 表示对所有n级排列求和（进行累加）；

2.2 表示方式

行列式的表示方式：$D = |a_{ij}|$，其中有个性质就是$|a_{11}| = a_{11}$

注意和数学上的区别：比如就存在这种现象：$|-1| = -1$和$|-1| = 1$

$|a_{11}| = a_{11}$ 这里指的是行列式
$|a_{11}| = \pm\ a_{11}$ 这里指的是绝对值

2.3 举个例子

$\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 & 8\\ 1 & 1 & 0 & 4\\ 2 & 2 & 0 &5\\ 1&0&0&9\end{vmatrix}$

进行展开的时候，行标不变，主要是列标的改变，共有$4!=24$项，不妨进行展开看一下

以标准排列为基准，计算出其逆序数，判断运算符号，然后在根据对换数判断其他元素下标的运算符号，也就省去了其他元素下标进行逆序数的计算

运算符号	元素下标	逆序数	对换数	展开项
+	1234	0		$+1*1*0*9$
-	1243		1	$-1*1*5*0$
-	1324		1	$-1*0*2*9$
+	1342		2	$+1*0*5*0$
…	…	…	…	…

真的要把24项全部展开真的太浪费时间了，通过上面的展开，可以发现有些展开项中存在着0这个元素，所以相乘的结果也是0，故该项就为0，这样的话就可以简化一些特殊的行列式，也是属于考试的重点

比如下面行列式：
$\begin{vmatrix}0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 &2\\ 1&0&0&0\end{vmatrix}$

可以发现每列只有一个元素不为零，且对应的列标为2341，那么最后该4阶行列式展开的结果为：$D = (-1)^{N(2341)}1*1*2*1 = -2$

2.4 三角行列式

上下三角及对角行列式都是针对于主对角线（从左上到右下）来讲的，其对称形式也就是针对于副对角线

计算下面行列式展开项的结果
$\begin{vmatrix}a_{11} & 0 & ... & 0 \\ a_{21} & a_{22} & ... & 0\\ .& .& . . .& .\\ a_{n1} & a_{n2} & ... &a_{nn} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}...a_{nn}$

那么按照第一种定义来展开的话，

（1）首先要明确属于特殊的行列式，第一行除了第一个元素全是0，那么在取列表进行排列时候，只能取第一个；

（2）接着往下取，每次的展开项都是要由不同行不同列的n个元素相乘，所以最后只能取得元素就是$a_{11}a_{22}...a_{nn}$；

（3）最后就是进行前面正负1的判定，下标为标准排列，前面符号取正；

（4）所以最终的下三角行列式的展开结果就为主对角线的乘积

上三角和对角线行列式也是同理，这时候取元素的时候从最后一行开始取即可
$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & ... & a_{2n}\\ .& .& . . .& .\\ 0 & 0 & ... &a_{nn} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}...a_{nn}$

$\begin{vmatrix}a_{11} & 0 & ... &0 \\ 0 & a_{22} & ... & 0\\ .& .& . . .& .\\ 0 & 0 & ... &a_{nn} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}...a_{nn}$

注意上/下三角和对角线行列式的对称形式，其中的符号问题，如下

$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & 0\\ .& .& . . .& .\\ a_{n1} & 0 & ... &0 \end{vmatrix}= (-1) ^{N(n(n-1)...3*2*1)}a_{1n}a_{2(n-1)}...a_{n1}= (-1)^{ \frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}a_{2(n-1)}...a_{n1}$

$\begin{vmatrix}0 & 0 & ... & a_{1n} \\ 0& a_{22} & ... & a_{2n} \\ .& .& . . .& .\\ a_{n1} & a_{n2} & ... &a_{nn}\end{vmatrix}= (-1) ^{N(n(n-1)...3*2*1)}a_{1n}a_{2(n-1)}...a_{n1} = (-1)^{ \frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}a_{2(n-1)}...a_{n1}$

$\begin{vmatrix}0 & 0 & ... & a_{1n} \\ 0& a_{22} & ... & 0\\ .& .& . . .& .\\ a_{n1} & 0 & ... &0 \end{vmatrix}= (-1) ^{N(n(n-1)...3*2*1)}a_{1n}a_{2(n-1)}...a_{n1} = (-1)^{ \frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}a_{2(n-1)}...a_{n1}$

2.5 第二种定义（按列展开）

还是先拿三阶行列式进行展开示例：
$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}= a_{11}*a_{22}*a_{33}+a_{31}*a_{12}*a_{23} +a_{21}*a_{32}*a_{13}-a_{31}*a_{22}*a_{13}-a_{21}*a_{12}*a_{33}-a_{11}*a_{32}*a_{23}$

第二种定义为（按列展开）：列标标取标准排列，行标取排列的所有可能，从不同行不同列中取出n个元素相乘，符号是由行标排列的奇偶性决定的，共有 $n!$ 项，公式如下：

$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\ .& .& . . .& .\\ a_{n1} & a_{n2} & ... &a_{33} \end{vmatrix}= \sum_{i_{1}i_{2}...i_{n}}{(-1)}^{N(i_{1}i_{2}...i_{n})}a_{i_{1}1}a_{i_{2}2}...a_{i_{n}n}$

2.6 第三种定义（随意展开）

这种展开就是既不按照行排列，也不按照列进行排列，还是以三阶的行列式为例，展开的每一项都是有三个元素相乘，如果随意的打乱其中的位置，比如把上面的a11​∗a22​∗a33，变成a33∗a22​∗a11，就变成乱序了，也就不符合上面的前两种定义，这时候的展开项的公式如下

$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\ .& .& . . .& .\\ a_{n1} & a_{n2} & ... &a_{33} \end{vmatrix}= \sum_{}{(-1)}^{N(i_{1}i_{2}...i_{n}) + N(j_{1}j_{2}...j_{n})}a_{i_{1}j_{1}}a_{i_{2}j_{2}}...a_{i_{n}j_{n}}$

2.7 习题举例

一个行列式的展开式如下，求解其中的i,k,m参数及最后的展开项
$(-1)^{N(i21m)+N(1k32)}a_{i1}a_{2k}a_{13}a_{m2}$

解：

① 首先看符号这里的判定，既不属于行标也不属于列标展开，故为第三种定义展开

②其次，看下标，一个是i21m，一个是1k32，由于是由排列组成的，所以k = 4, i = 3, j = 4 或者 k = 4, j = 3, i = 4

③接着求解逆序数（很明显两个答案对应的结果是一奇一偶，因为经过一次对换），N(3214) + N(1432)= 6; N(4213) + N(1432)=7

④最后展开项为$a_{31}a_{24}a_{13}a_{42}$ 或者 $-a_{41}a_{24}a_{13}a_{32}$

至此，n阶行列式的内容梳理完毕，下一部分为行列式性质的介绍