以最簡單的，單輸入，單輸出系統爲例
這個視頻《理解卡爾曼濾波器 - Understanding Kalman Filters》講的比較好，
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問題分析：很顯然，我們可以通過對速度v的積分來獲取當前位置，可惜這個值s1還有累計誤差，而且當小車打滑、過溝時，我們手裏的v的值也就並不是那麼準確，這樣得出的預測值s1，就不是很可靠。這一過程我們稱爲：用系統的數學模型來預估。
還有一個獲得路程s的方法就是讀取GPS的值，減掉小車的起始位置，爲了敘述簡便，我們直接把這兩者的差值叫做：GPS的輸出值，由於GPS的輸出值是有噪聲的，GPS讀出的測量值S2，也不是很可靠。這一過程我們稱爲：用測量值來預估。
控制器的計算過程只能是離散的，無法使用積分，只能使用累加：假設我們每20ms計算一次，那麼預測值：
s1(k)=s1(k-1) + Bv + w
式中，B爲採樣時間0.02s，v爲小車的速度m/s，w爲誤差，一般假設該誤差符合正態分佈N(0, Q)，0爲均值，Q爲方差
另一個預測值我們直接從GPS讀出：
s2(k)=sg + z
式中，sg爲GPS讀出的值，z爲GPS的噪聲引起的誤差，一般假設該誤差符合正態分佈N(0, R)，0爲均值，R爲方差
注意：由於s1的累計誤差問題，實際上，我們遞推s1(k)時，並不是用的直接用的s1(k-1)，而是用卡爾曼最優的估計值。
卡爾曼濾波器公式：
sk(k)= sk(k-1)+Bv + k*(sg - sk(k-1))
式中，sk(k)爲第k次卡爾曼的估計值，sg爲GPS讀出的值，k爲係數，顯然這裏k=1
前兩項稱爲：預估器（在讀GPS之前的預估值），第三相稱爲：更新值
在瞭解卡爾曼濾波器之前，先得來了解一下“狀態觀測器”。場景是這樣的：在t時刻給火箭提供的燃料量爲w(t)，火箭噴嘴的溫度爲Tin，爲了瞭解Tin(t)與w(t)的關係，我們必須要獲取很多組樣本(w1,Tin1)、(w2,Tin2)······，可惜噴嘴的溫度太高，我們無法測量噴嘴的溫度，取而代之，我們只能測量噴嘴外部的外殼的溫度Text
上圖（左）中，上面爲真正的火箭，下面爲它的數學模型，因爲沒有直接饋通，該模型不含D矩陣，當然，這個數學模型我們無法使它精確的描述火箭，暫且用一個一階系統來描述，即右圖。我們的目的是，通過輸入量u，實時預測噴嘴真正的溫度x，我們能拿到的數字量有：輸入量u，實測的外殼溫度y，根據這兩個值，我們把u代入數學模型表達式（上面右圖的下面的框圖），可以得到用數學模型預測的外殼溫度值
令K=Bk，兩式相減得：
解這個一階線性微分方程，得：
顯然，當A-KC<0時，預測的噴嘴溫度
下面進入卡爾曼濾波器：
情景假設：我們有一輛小車，我們可以用遙控器任意調節小車的速度v，小車上安裝了一個GPS，任務要求：讓小車從一個位置沿直線出發，然後實時返回已走過的路徑長度s。
小車實際的狀態空間模型如上圖所示，這個表達式是用離散狀態空間表達式。w和v分別代表了系統誤差和測量誤差，一般假設兩者都滿足正態分佈：w~N(0，Q)，v~N(0, R)。Q代表了用數學模型來預測真實系統的偏離的程度。
上圖中，上半部爲實際的小車，下半部爲我們提出的數學預測模型，這樣就跟前文的火箭類似了，這裏我們能通過模型給出一個預測的位置值
真實的小車模型中帶有系統誤差，例如車輪打滑，或者車輪進坑等，使得路程不完全等於速度的積分。這裏相比火箭問題更糟糕的情況是，測量值也有很大誤差，火箭問題中，我們就把測量的外殼溫度當做外殼的真實溫度了，但在這裏，GPS的測量路程，我們還不能完全當做真實的路程，它也有誤差.
數學模型給出的預測值爲：
式中，
上式的前兩項稱爲預估器，第三項稱爲更新值，把上式簡化一下，變爲：
實際上，我們在計算預估值，和更新值時，還得順便計算一下新的系統誤差的協方差和測量誤差的協方差，也即：
