概念：微分方程的解、瞬態響應、穩態響應、自由響應、強迫響應、零輸入響應、零狀態響應

要理解這幾個概念，首先要從“微分方程的解“的結構說起，

參考：《常係數線性微分方程的解法》

（1）

（2）

我們對物理系統進行建模時，列出的微分方程多爲”非齊次、線性“，如上式（2）所示，由上面的定理7可知，這種非齊次微分方程的通解y(t)由兩部分相加：①對應的”齊次微分方程“的通解y1(t)，②一個該非齊次微分方程的特解y2(t)。

y(t)就是該物理系統的輸出信號的時域表達式，顯然該表達式中的y1(t)部分跟輸入信號f(t)無關，那麼y1(t)就稱爲該系統的”自由響應“，y2(t)跟輸入信號f(t)相關，稱爲系統在輸入信號作用下的”強迫響應“，《機械工程控制基礎》第6版，p83最後一段

關於特徵根：按照”線性微分方程的解”相關理論，對齊次方程做拉氏變換後，可以得到一個關於復變量s的代數方程，我們知道，“方程的解的形式”與“這個s代數方程的根的情況”直接相關，所以我們把這個代數方程（特徵方程）的根稱爲特徵根。那麼這兩者的關係是什麼？如下所示：

①特徵根均爲單實根，則齊次微分方程的解的形式一定是：

②特徵根爲一重共軛復根，形如α±βi，則齊次微分方程的解的形式一定是：

③特徵根爲k重根（還可細分爲k重實根/k重複根），則解的形式是：

實際上以上種種情況都是③的特例，直接看一個特徵方程的例子，特徵方程是以s爲變量的高次多項式：

一個高次多項式，在複數域內一定可以進行因式分解，化爲這種形式：

                      （3）

題外話：爲什麼一定能因式分解爲上述形式，例如：

在實數域無法分解，但在複數域就能分解爲：

下面回到正題，繼續看上面的③，

式（3）總共有k1+k2+```+kn個複數根，這些ki中可能有一些爲0，這樣相應的特徵根λi就變成了單重根，否則就是ki重根；如果某個特徵根λi的虛部爲0，那麼λi就是ki重實根。顯然根據ki的不同、λi實虛部的不同，可以涵蓋前面所述的三種情況。

直接給出結論得了，式（3）對應的齊次微分方程的解的基爲：

也即，微分方程的解爲：上圖中的每一項*cij，再相加（如果λi含虛部，還可把e^λit進一步歐拉展開）。

利用這條結論，我們來做幾個例子：

例1：已知某齊次線性微分方程的特徵方程爲(s-5)(s+3)^2=0，問該微分方程的解？

分析：特徵根爲：λ1=5 (重數k1=1)、λ2= -3(k2=2)，那麼根據上圖，我們可以寫出微分方程的解空間的基爲：

，

從而得到解爲：，式中c1、c2、c3爲任意實數

例2：已知某齊次線性微分方程的特徵方程爲(s-5)(s^2+2s+5)^2=0，問該微分方程的解？

該特徵方程的根爲：

λ1=-1+2j (重數k1=2)、λ2=-1-2j (重數k2=2)、λ3=5 (重數k3=1)，那麼根據上圖寫出解的基爲：

根據解的基，可以立即寫出微分方程的通解：

總結一下齊次線性微分方程的解的結構：一定脫離不了這種形式的多項式：

也即，（式10）

 

下面再繼續講解概念：瞬態響應。

根據（式10）可知，只要特徵根的實部<0，也即傳函的極點<0，那麼系統在時域的自由響應一定會趨於0，我們把這種情況下的自由響應稱爲“瞬態響應”，需要注意的是，雖然自由響應會趨於0，但是由於總響應=自由響應+強迫響應，如果輸入信號爲震盪信號造成強迫響應發生震盪甚至發散的話，那麼總響應也是不會趨於0的。

只要有一個特徵根的實部>0，就會造成自由響應發散，這時的自由響應就不叫“瞬態響應”了。

“穩態響應”指的是，強迫響應。

 

極點（特徵根）的實部，正負號決定了是穩定還是發散，絕對值決定了穩定或發散的快慢；

極點（特徵根）的虛部，決定了在穩定/發散過程中震盪的週期（參見式10）

 

按照微分方程轉狀態空間的步驟，可知，輸出信號y(t)及其各階導數，就是系統的狀態向量。所謂系統狀態的初值，就是這些狀態變量在t=0時刻的值。

零輸入響應的定義：已知狀態變量的初值不全爲0，求輸入信號爲0時，系統的響應，也即先求齊次方程的通解，然後根據初值把通解中的各個c都求出來。（爲何不全爲0，試想，如果初值全爲0，輸入也爲0，那就不用求輸出信號了，因爲輸出信號肯定也是0）

零狀態響應的定義：已知狀態變量的初值在t=0-時刻均爲0，求給定輸入信號x(t)作用下，系統的響應，也即：先求非齊次方程的通解，然後根據狀態變量在t=0+時刻的初值，求出通解中的各個c。特別注意這裏的t=0-和0+時刻，雖然在這兩個時刻，狀態變量的值都叫做初值，但是這兩個時刻狀態變量的值可能是不同的，也即0-時刻狀態變量全爲0，但0+時刻狀態變量可能不是全爲0，那麼何種情況下0+時刻不是全0呢？那就是：當微分方程的右邊含有輸入信號的導數時，會引起衝激，導致狀態變量不全爲0。

下面區分一下：自由響應和零輸入響應

參考：https://wenku.baidu.com/view/5d8c1f11a22d7375a417866fb84ae45c3b35c284.html

零輸入響應就是微分方程的右端爲0時，微分方程的解。也即，齊次微分方程的解。該解完全取決於輸出y及其y的各階導數的初值。因爲沒有輸入信號，所以0時刻前後的初值相同，也即：

零狀態響應就是，在t=0-時刻輸出信號y及其y的各階導數的初值均爲0時，系統的輸出，也即先求非齊次方程的通解，然後求出通解中的各個常數c。

需要注意的是，因爲存在輸入信號，可能使得，也即，雖然在t=0-時刻，y及y的各階導數全爲0（也即所謂的0狀態），但是在t=0+時刻，y及y的各階導數就不一定全爲0了，那麼到底爲多少呢？具體的計算可自行百度“衝激函數匹配法”，這裏簡單提一點，設輸入信號爲f(t)，只要微分方程的右邊出現了f(t)的導函數，不管是幾階，那麼就會導致y(t)及其導數不全爲0。

自由響應指的是，輸出信號y(t)中跟t=0+時刻的初狀態相關的項，顯然，它包含了全部的零輸入響應+一部分零狀態響應。

強迫響應指的是：從零狀態響應中去掉自由響應所包含的那一部分零狀態響應後，剩餘的部分