概念：微分方程的解、瞬态响应、稳态响应、自由响应、强迫响应、零输入响应、零状态响应

要理解这几个概念，首先要从“微分方程的解“的结构说起，

参考：《常系数线性微分方程的解法》

（1）

（2）

我们对物理系统进行建模时，列出的微分方程多为”非齐次、线性“，如上式（2）所示，由上面的定理7可知，这种非齐次微分方程的通解y(t)由两部分相加：①对应的”齐次微分方程“的通解y1(t)，②一个该非齐次微分方程的特解y2(t)。

y(t)就是该物理系统的输出信号的时域表达式，显然该表达式中的y1(t)部分跟输入信号f(t)无关，那么y1(t)就称为该系统的”自由响应“，y2(t)跟输入信号f(t)相关，称为系统在输入信号作用下的”强迫响应“，《机械工程控制基础》第6版，p83最后一段

关于特征根：按照”线性微分方程的解”相关理论，对齐次方程做拉氏变换后，可以得到一个关于复变量s的代数方程，我们知道，“方程的解的形式”与“这个s代数方程的根的情况”直接相关，所以我们把这个代数方程（特征方程）的根称为特征根。那么这两者的关系是什么？如下所示：

①特征根均为单实根，则齐次微分方程的解的形式一定是：

②特征根为一重共轭复根，形如α±βi，则齐次微分方程的解的形式一定是：

③特征根为k重根（还可细分为k重实根/k重复根），则解的形式是：

实际上以上种种情况都是③的特例，直接看一个特征方程的例子，特征方程是以s为变量的高次多项式：

一个高次多项式，在复数域内一定可以进行因式分解，化为这种形式：

                      （3）

题外话：为什么一定能因式分解为上述形式，例如：

在实数域无法分解，但在复数域就能分解为：

下面回到正题，继续看上面的③，

式（3）总共有k1+k2+```+kn个复数根，这些ki中可能有一些为0，这样相应的特征根λi就变成了单重根，否则就是ki重根；如果某个特征根λi的虚部为0，那么λi就是ki重实根。显然根据ki的不同、λi实虚部的不同，可以涵盖前面所述的三种情况。

直接给出结论得了，式（3）对应的齐次微分方程的解的基为：

也即，微分方程的解为：上图中的每一项*cij，再相加（如果λi含虚部，还可把e^λit进一步欧拉展开）。

利用这条结论，我们来做几个例子：

例1：已知某齐次线性微分方程的特征方程为(s-5)(s+3)^2=0，问该微分方程的解？

分析：特征根为：λ1=5 (重数k1=1)、λ2= -3(k2=2)，那么根据上图，我们可以写出微分方程的解空间的基为：

，

从而得到解为：，式中c1、c2、c3为任意实数

例2：已知某齐次线性微分方程的特征方程为(s-5)(s^2+2s+5)^2=0，问该微分方程的解？

该特征方程的根为：

λ1=-1+2j (重数k1=2)、λ2=-1-2j (重数k2=2)、λ3=5 (重数k3=1)，那么根据上图写出解的基为：

根据解的基，可以立即写出微分方程的通解：

总结一下齐次线性微分方程的解的结构：一定脱离不了这种形式的多项式：

也即，（式10）

 

下面再继续讲解概念：瞬态响应。

根据（式10）可知，只要特征根的实部<0，也即传函的极点<0，那么系统在时域的自由响应一定会趋于0，我们把这种情况下的自由响应称为“瞬态响应”，需要注意的是，虽然自由响应会趋于0，但是由于总响应=自由响应+强迫响应，如果输入信号为震荡信号造成强迫响应发生震荡甚至发散的话，那么总响应也是不会趋于0的。

只要有一个特征根的实部>0，就会造成自由响应发散，这时的自由响应就不叫“瞬态响应”了。

“稳态响应”指的是，强迫响应。

 

极点（特征根）的实部，正负号决定了是稳定还是发散，绝对值决定了稳定或发散的快慢；

极点（特征根）的虚部，决定了在稳定/发散过程中震荡的周期（参见式10）

 

按照微分方程转状态空间的步骤，可知，输出信号y(t)及其各阶导数，就是系统的状态向量。所谓系统状态的初值，就是这些状态变量在t=0时刻的值。

零输入响应的定义：已知状态变量的初值不全为0，求输入信号为0时，系统的响应，也即先求齐次方程的通解，然后根据初值把通解中的各个c都求出来。（为何不全为0，试想，如果初值全为0，输入也为0，那就不用求输出信号了，因为输出信号肯定也是0）

零状态响应的定义：已知状态变量的初值在t=0-时刻均为0，求给定输入信号x(t)作用下，系统的响应，也即：先求非齐次方程的通解，然后根据状态变量在t=0+时刻的初值，求出通解中的各个c。特别注意这里的t=0-和0+时刻，虽然在这两个时刻，状态变量的值都叫做初值，但是这两个时刻状态变量的值可能是不同的，也即0-时刻状态变量全为0，但0+时刻状态变量可能不是全为0，那么何种情况下0+时刻不是全0呢？那就是：当微分方程的右边含有输入信号的导数时，会引起冲激，导致状态变量不全为0。

下面区分一下：自由响应和零输入响应

参考：https://wenku.baidu.com/view/5d8c1f11a22d7375a417866fb84ae45c3b35c284.html

零输入响应就是微分方程的右端为0时，微分方程的解。也即，齐次微分方程的解。该解完全取决于输出y及其y的各阶导数的初值。因为没有输入信号，所以0时刻前后的初值相同，也即：

零状态响应就是，在t=0-时刻输出信号y及其y的各阶导数的初值均为0时，系统的输出，也即先求非齐次方程的通解，然后求出通解中的各个常数c。

需要注意的是，因为存在输入信号，可能使得，也即，虽然在t=0-时刻，y及y的各阶导数全为0（也即所谓的0状态），但是在t=0+时刻，y及y的各阶导数就不一定全为0了，那么到底为多少呢？具体的计算可自行百度“冲激函数匹配法”，这里简单提一点，设输入信号为f(t)，只要微分方程的右边出现了f(t)的导函数，不管是几阶，那么就会导致y(t)及其导数不全为0。

自由响应指的是，输出信号y(t)中跟t=0+时刻的初状态相关的项，显然，它包含了全部的零输入响应+一部分零状态响应。

强迫响应指的是：从零状态响应中去掉自由响应所包含的那一部分零状态响应后，剩余的部分