泰勒級數的定義：
若函數f（x）在點
的某一臨域內具有直到（n+1）階導數，則在該鄰域內f（x）的n階泰勒公式爲：
其中：
，稱爲拉格朗日餘項。
以上函數展開式稱爲泰勒級數。
泰勒級數在冪級數展開中的作用：
在泰勒公式中，取
，得：
這個級數稱爲麥克勞林級數。函數f（x）的麥克勞林級數是x的冪級數，那麼這種展開是唯一的，且必然與f（x）的麥克勞林級數一致。
注意：如果f（x）的麥克勞林級數在點的某一臨域內收斂，它不一定收斂於f（x）。因此，如果f（x）在處有各階導數，則f（x）的麥克勞林級數雖然能做出來，但這個級數能否在某個區域內收斂，以及是否收斂於f（x）都需要進一步驗證。
幾個重要的泰勒級數。參數x 爲複數時它們依然成立。
- 幾何級數:
- 三角函數:
- 雙曲函數:
二項式展開中的C(α,n)是二項式係數。
tan(x)和tanh(x)展開式中的Bk是伯努利數。
sec(x)展開式中的Ek是歐拉數。
複平面上的一個單位圓上的點，與實軸夾角爲θ時，此點可表示爲
e是自然對數的底，此式稱爲歐拉(Euler)公式。e可以用計算方法定義爲
歐拉公式與三角函數的關係
由泰勒級數展開
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