讓我們回憶一下上一次所說的，線性代數——線性方程組。不要怕，這次的問題仍然非常簡單。
我們這次要變一個更大一些的魔術，我們會在形式上把所有的線性方程組統一起來，讓它們看上去長得一樣，今後我們就可以用相同的方法來處理或是求解這些方程。
我們還是拿上次的那個二元一次方程組來看吧：
這個形式和一元一次方程比複雜了很多，要求解也不那麼直觀，我們就把形式變化一下，讓它看上去像一個一元一次方程一樣。
首先，我們先把要求的兩個變量整合一下：
然後把方程等號右邊的部分同樣整合一下：
最後把變量前面的係數單獨拿出來聚在一起：
現在我們把這些東西拼湊起來：
或者更簡單的形式：
現在大家一定會懷疑，這玩意兒就這樣隨便寫寫就可以了？當然，這不是隨便寫寫的，我們會去定義這些符號和這些符號之間的運算，然後我們就可以知道，我們確實是可以把方程寫成這個形式的。
我們先來定義一下乘法，AX是什麼意思呢？很自然，我們希望這個乘法得到的結果和方程左邊是相同的，於是我們就希望：
能看出什麼規律嗎？我們不用具體的數字，用符號來重寫一下：
如果還是沒看清楚，我們用三個變量來嘗試一下：
這次看明白了吧。這個乘法的定義就是把係數部分的第一行挨個和變量相乘然後相加，得到第一個值，第二行再挨個和變量相乘再相加得到第二個值，以此類推。
然後我們還需要定義相等。A和X相乘得到的結果如果我們稱之爲C，那C=B是什麼意思呢？很簡單，就是C上每一個位置的值和B上相應位置上的值都相等。
然後我們再回頭看看我們新定義的AX=B和原來的方程是不是同一個意思呢？這樣，我們就成功把這個魔術完成了。是不是覺得很無趣？但是，如果我們有一天發現我們有一種類似於除法的東西，能像我們求解一元一次方程一樣求解這個被我們改寫過的二元一次方程，就好比我們的X將來可以等於B/A一樣，你是不是覺得這個魔術的意義呢？事實上，我們的確存在這樣的一個東西，儘管略有些不同，我們將來會看到在一定的條件下，我們會有這樣一個形式：
說到現在，我們就把我們這一部分的標題上這兩個詞解釋一下。前面我們有把方程的係數寫成了一個方塊，這個方塊就叫做矩陣。我們現在可以把矩陣看成一個線性方程組的係數組成的方塊，當然，到後面我們，我們可以逐漸發現矩陣更重要或者說是更根本的意義。而且，我們這裏把線性方程組的係數和矩陣劃上了關聯，所以線性方程組也隨之有了更深刻的含義。我們剛纔舉的例子，這個方塊的行數和列數是相等的，但並不是說，一個矩陣的行數和列數一定是相等的，同樣，一個線性方程組的未知數個數和方程的個數並不一定是相等的，這個和方程有沒有解，有多少解並沒有必然的聯繫，儘管我們在中學裏學的方程組中未知數個數和方程的個數通常是相同的。
那什麼是向量呢？我們剛纔把方程組等號右邊的部分提取出來寫成了一列的形式，這就是一個向量。首先，由於我們剛纔在處理係數和等號右邊部分時用了相同的符號（用一個大大的中括號括起來），既然形式相同，我們理所當然就把向量看成一個n行1列的矩陣。然而，作爲一個特殊的矩陣，我們可以賦予它一些更好的含義，在下一部分中，我們就可以看到一些神奇的東西。
回頭看，實際上，我們自變量寫成的那個形式也是一個向量。
最後，我們再來回顧一下，什麼是矩陣和向量。
矩陣：m行n列的數字，用一箇中括號括起來，可以用來表示一個線性方程組的係數
向量：m行1列的數字，用一箇中括號括起來，可以用來表示一個線性方程組等號右邊的部分，或者是自變量的列表