看了這一部分的標題，大家是不是覺得很奇怪，不是說介紹線性代數的嗎？怎麼搞了一個幾何做標題？大家沒有看錯，這一部分就是要談談幾何，但是和我們小學初中學的幾何有些不同，我們現在要用計算的方式來處理幾何問題，以前總是添不對輔助線解不出幾何題的朋友就不用擔心了，這裏的很多東西都可以硬算算出來。
我們還是從簡單的問題開始，以前學幾何肯定是從平面幾何學起，那我們也從平面開始。
爲了用計算的方式解決幾何問題，就需要用一些“量”來表示幾何。最簡單的幾何體是零維的——點，只要有位置信息就可以確定一個點。爲了有位置，我們就需要一個基準，這就是座標系。相信大多數人都學過平面直角座標，一根x軸和一根y軸垂直，相交的地方是原點，原點的地方座標是(0,0)，平面上的所有點都有一個唯一的座標(x,y)。也就是說，在平面上，兩個數就可以確定一個唯一點，或者換一句話說，兩個數可以和一個點等價起來。
我們現在把原點和平面上的一個點用一條線段連接起來，然後加上一個箭頭，表示這個線段的起點是原點，而終點是我們指定的一個點。這樣，我們就得到了一個有方向的量，稱爲向量。不知大家還記不記得上一節中提到過的用於表示線性方程組等號右邊的值，我們稱之爲向量。事實上，這兩個向量是同一個東西，只是一個是從代數的角度去理解，而另外一個是從幾何的角度去理解。如果現在不明白這兩者之間的關係也沒有關係，在後面的部分我們會逐漸看到兩者的聯繫，就會明白爲什麼我們用同一個名字去命名它們了。
事實上，向量並不要求它從原點開始，在向量上有兩個要素，一個是方向，另一個是長度。如果兩個向量方向相同，長度相等，那麼這兩個向量就是相等的。有一個特殊的向量，就是長度爲0的向量，它並沒有一個確定的方向，但這並不重要，因爲一個長度爲0的線段，我們可以認爲是任意朝向的，所以它既可以和任意向量平行，也可以和任意向量垂直。
由於向量的起點並不重要，爲了用一個方便的形式表示向量，我們可以把向量的起點都移到原點。這樣，我們用這個起點爲原點向量的終點就可以唯一表示這個向量。我們剛纔看到的，平面上每一個點都有一個唯一的座標(x,y)，我們也就可以用這個“座標”來表示向量。也就是說，我們用兩個數來表示平面上的一個向量。我們可以用中括號把這兩個數括起來，比如說從原點到(8,24)的向量，我們就可以表示成[8 24]，當然，8和24橫過來寫還是豎過來寫對向量的含義都沒什麼影響，我們就給它們取個名字，橫過來的叫“行向量”，豎過來的叫“列向量”，這僅僅是爲了形式上的區分而已，並沒有什麼實質上的區別。
讓我們現在來考慮稍微複雜一點的情況。我們現在生活的空間並不是平面，而是立體的，簡單的來說，需要在平面的基礎上再加入一個高度。如果平面上的座標是x軸和y軸，我們就再加入一條和x軸y軸都垂直的z軸，就可以表示這樣一個三維的空間。這樣，空間中一個點就可以用三個數來表示(x,y,z)，當然我們也可以在三維空間裏定義向量，和平面上的情況一樣，我們自然也就需要三個數來確定一個三維空間中的向量，寫成[x y z]。剛纔由兩個值確定的向量我們稱爲2維向量，三維空間裏由三個值確定的向量自然就稱爲3維向量。
接下來讓我們回頭看一下向量的要素：方向和長度。我們就首先從長度開始討論。爲了確定向量的長度，我們就需要計算從原點到任意點的距離。在平面上，很簡單，根據勾股定理就可以得到向量的長度。假設這個點的座標是(x,y)，要計算(x,y)到原點的距離，只需要從(x,y)點向x軸和y軸都做一條垂線，就可以看到從原點到(x,y)的線段恰好是一個矩形的對角線，矩形的長和寬分別是x和y，所以我們就得到這個向量的長度是x2+y2−−−−−−√。
讓我們再向前走一步，來到三維空間。如果能想象出來，其實從(x,y,z)點到原點的線段恰好是一個立方體的大對角線，這個立方體的三條邊長度是x、y和z。如果想象不出來，也沒關係，我們直接把二維的結果推廣一下，用一個相同的形式，這個向量的長度是x2+y2+z2−−−−−−−−−−√。
向量的方向可以從角度的方面進行討論。我們知道，兩條直線如果不平行，那就會有一個相交的角度，所以兩個向量也會有一個交角。不過我們打算把這個話題留到後面的部分中去討論。
我們在這裏只引入一個概念：單位向量。很簡單，就是長度是1的向量。如果在二維平面上，我們可以想象，如果把這些向量的起點放在原點，那它們的終點恰好是以原點爲圓心，以1爲半徑的一個圓周。對於每一個向量（除了0向量），我們都可以找到一個和它方向相同，但長度爲1的向量，這個過程我們叫做“單位化”，有點拋棄向量的長度而只考慮方向的意思。這個操作非常簡單，先得到原向量的長度，然後把每一個座標都除以這個長度就可以了。舉一個例子來說吧：
向量a=[34]
向量的長度l=32+42−−−−−−√=5
單位化以後的向量a1=[3/54/5]
簡單嗎？
讓我們回顧一下，這一部分其實就介紹了一下幾何意義上的向量，以及這個向量用座標表示之後的一些特性。關鍵就在於，座標表示、長度、方向。