電機學習筆記4——PMSM矢量控制雙環PI參數整定（1）

開環控制系統，電機的輸出轉速並不能跟隨負載的變化而調整。轉速單閉環控制可以穩定電機的輸出轉速，但是不能充分的控制電流的動態過程。矢量控制系統是以控制電機的定子電流來控制轉矩，如果不能有效控制定子電流，則無法有效控制其轉矩。添加一個電流內環，可以使電機在負載波動時，動態調節定子電流，進而匹配電磁轉矩，加快系統的動態響應速度。

工程設計轉速、電流雙閉環的原則是“先內環後外環”。設計步驟是：先從電流環開始，對其進行必要的變換和近似處理後，對電流環進行校正（一般校正成2階系統），最後按動態性能指標要求確定電流調節器的參數。電流環設計完成之後，把電流環等效成轉速環中的一個環節，再用同樣的方法設計轉速環，一般將速度環校正成3階系統。

1. 電流環控制器參數設計

對交軸電流$i_q$進行分析。在$dq$座標系下，永磁同步電機的交直軸電壓爲
$u_q = R_si_q + L_q\frac {di_q}{dt} +\omega_r(L_di_d+\psi_f)$
爲了便於分析，忽略其中的動態項$\omega_r\psi_f$和耦合項$\omega_rL_di_d$，於是得到
$u_q = R_si_q + L_q\frac {di_q}{dt}$
對其進行拉普拉斯變換，得到在電流環下的電機傳遞函數：
$G_M(s) = \frac {i_q(s)}{u_q(s)}=\frac 1{L_qs+R_s}$
於是可以畫出電流環的傳遞函數圖：

其中第一項是PI控制器傳遞函數，第二項是PWM逆變器傳遞函數，第三項是電機傳遞函數。令$K_i=K_p\tau_i$,$\tau_i$爲PI控制器的超前時間常數。於是可以得到其開環傳遞函數：
$G_{iopen}(s)=\frac {K_p(\tau_is+1)}{\tau_is}· \frac {K_{PWM}}{T_{PWM}s+1} ·\frac 1{L_qs+R_s}$
爲了將其校正成2階系統，可令$\tau_i ＝ L_q/R_s$，於是可得
$G_{iopen}(s)=\frac {K_pK_{PWM}}{L_qs(T_{PWM}s+1)}$
式中$K_{PWM}$是逆變器放大係數，$T_{PWM}$是逆變器開關週期。
進一步可得其閉環傳遞函數：
$G_{iclose}(s)=\frac {K_g}{s^2+\frac 1{T_{PWM}}s+K_g}\\ K_g = \frac {K_pK_{PWM}}{L_qT_{PWM}}\\$
與標準的2階閉環系統做對比：
$G(s)=\frac {\omega_n^2}{s^2+2\xi\omega_ns+\omega_n^2}$
可得：
$\omega_n = \sqrt{K_g}=\frac 1{2T_{PWM}\xi}$
進一步可得電流環比例係數和積分系數：
$K_p = \frac {L_q}{4\xi^2 K_{PWM} T_{PWM}} \\ K_i = \frac {R_s}{4\xi^2 K_{PWM} T_{PWM}}$
PI控制器理想阻尼係數$\xi$一般取0.707。$K_{PWM}$視情況而定，此處取1。最終可以得到
$K_p = \frac {L_q}{2T_{PWM}} \\ K_i = \frac {R_s}{2T_{PWM}}$

2. 轉速環控制器參數設計

轉速環設計合理的話，可以提高動態響應速度，減少轉速波動。在設計轉速環時，可以將電流環的傳遞函數看作是簡單的一階環節。
$G_{iclose}(s)=\frac {K_g}{s^2+\frac 1{T_{PWM}}s+K_g}\approx\frac 1{4\xi^2T_{PWM}+1}$
由電機在$dq$座標系下的電磁轉矩方程：
$T_e = \frac 32p_n[\psi_fi_q + (L_d-L_q)i_di_q]$
在$i_d = 0$的控制方式下可以進一步簡化，並結合電機的運動方程和轉速公式：
$T_e = \frac 32p_n\psi_fi_q \\ T_e - T_L= J\frac {d\omega}{dt}\\ n =\frac {30\omega}{\pi}$
令負載轉矩$T_L ＝ 0$爲，可以畫出轉速環的傳遞函數框圖：

令$K_i=K_p\tau_i,\xi = 0.707$,可得開環傳遞函數爲：
$G_{nopen}(s)=\frac {K_n(\tau_ns+1)}{s^2(2T_{PWM}s+1)}\\ K_n = \frac {45K_pp_n\psi_f}{J\pi\tau_n}$
通常將速度環按典型II型系統（3階）進行校正，有：
$\tau_n = h*2T_{PWM} \\ K_n = \frac {h+1}{2h^2*(2T_{PWM})^2}$
無特殊要求時，一般取$h = 5$。於是可以得到速度環PI控制器的比例係數和積分系數：
$K_p = \frac {J\pi}{150*p_n*\psi_f*T_{PWM}} \\ K_i = \frac {K_p}{\tau_n} = \frac {J\pi}{1500*p_n*\psi_f*T_{PWM}^2} \\$
式中$p_n$爲電機極對數，$\psi_f$爲轉子永磁體磁鏈，$J$爲轉動慣量，$T_{PWM}$爲逆變器開關週期。

總結：這種設計方法，忽略了q軸和d軸的耦合項，誤差是很大的。經仿真驗證，效果並不好。因此需要尋找更好的計算方案。

在設計參數時，參考了陳伯時老師的教材，也查閱了許多文獻，發現在採用自動控制理論中的典型系統設計方法來設計PI控制器時，各家的計算結果幾乎都不一樣。細看下來，差別基本都是來源於對系統近似處理時採用了不同的近似方法，有的論文在前向通路中添加了一個延時環節，有的論文中逆變器環節的時間常數爲逆變器開關週期的一半……因此，不求尋找正確答案，只求弄清楚原理。