一門學科的歷史，就是其實就是這門本身。
講座的開始兩節，龔老師首先回顧的就是數學的歷史。
1900年，年僅39，但已經名聲顯赫的數學家希爾伯特在世紀之交的數學家大會上做了演講，其中有一段話的大意是說，數學中真正的進展，是用更有力的工具盒更簡單的方法，代替了原先陳舊的、複雜的方法。
現在看來，這真是大師級別的概括。數學的歷史可以追溯到好幾千年以前。那時候人們以及開始需要計數和算數了。這些內容，其實就是我們小學學的知識。又不知道過了多少年，產生了用字母代替數字的代數，這其實是我們初中學的內容。初中代數中，有兩個特別重要的問題，就是多元一次方程組的求解和一元二次方程。其中多元一次方程組解起來特別麻煩，所以又有了線性代數，求解方程不過是求矩陣的逆；而有了一元二次方程求解、一元三次方程求解，以後，大批的數學都在致力於高次方程的求解高次的方程，有的方法很巧妙，有的對於特殊問題能夠求解，但是不能一般化。直到伽羅瓦和阿貝爾提出了現在近世代數中的內容，才解決了什麼方程是可解的，什麼不可解這類問題。這纔是用更有利的工具和更簡單的方法替代了原來陳舊的方法。在幾何中也是很明顯的，初中的時候平面幾何挺難的，高中時候立體幾何也不容易。但是上大學以後，我就沒學過幾何了，這是爲什麼呢？因爲大部分初等的幾何問題，都可以通過引入座標系，通過代數的方法來解決。計算的困難程度，是遠遠小於證明的，這也是巨大的進步。這關鍵的一步，就是費馬和笛卡爾引入了座標系的概念。（這也爲以後函數，微積分埋下了伏筆）。而幾何中真正的進展，來源於非歐幾何，進而從非歐幾何發展爲黎曼幾何。當時愛因斯坦研究相對論時，就是使用黎曼幾何作爲模型研究的。說完了代數和幾何，再看另一門古老的學問，三角函數，我當時上學時特別討厭他們，因爲公式太多：和差化積，積化和差，兩角和，二倍角，萬能公式等等。後來聽了龔老師的說法，其實只要記住歐拉公式就OK了。我試了一下，果然是這樣，有一種相見恨晚的感覺。這也是用高級的、簡單的方法代替初級的、複雜的方法。這是數學發展的規律。
數學發展的另一個很有意思的特點是，他不是一門“實驗”科學，可以驗證它。相反的例子是和數學聯繫緊密的物理，你提出了一套理論，必須通過實驗驗證這個東西對不對。數學更像是一套方法論，你沒法說它對不對，只能看以後有沒有人用，能否用你的理論解決實際問題。
數學發展的另一個特點是，要有偉大的成就，必須要有好的導師指點。老師舉出了很多例子，比如大名鼎鼎的哥廷根學派，裏面一串串各種定理中的名字。高斯、黎曼、狄利克雷，雅可比，克萊因和希爾伯特。但是很可惜，二戰的到來，使得他們解散了，裏面的一大批人去了美國：
這裏只需列出一張從德國(包括奧地利、匈牙利)到美國避難的數學家和物理學家的部分名單，就可見人材轉移之一斑了。愛因斯坦(1879～1955，偉大的物理學家)；弗蘭克(J．Franck，1882～1964．1925年獲諾貝爾物理學獎)；馮·諾依曼(1903～1957，傑出數學家之一)；柯朗(1888～1972，哥廷根數學研究所負責人)；哥德爾(1906～1976，數理邏輯學家)；諾特(1882～1935，抽象代數奠基人之一)；費勒(W．Feller，1906～1970，隨機過程論的創始人之一)；阿廷(1896～1962，抽象代數奠基人之一)；費裏德里希(K．Friedrichs，1901～1983，應用數學家)；外爾(1885～1955，傑出的數學家之一)；德恩(1878～1952，希爾伯特第3問題解決者)；此外還有波利亞、舍荀(Szeg)、海林格(Hellinger)、愛華德(Ewald)、諾爾德海姆(Nordheim)、德拜(Debye)、威格納(Wigner)等等。
好的導師，是有遠見的，他能看到現在有什麼重大問題值得去解決。古往今來爲了證明歐幾里得第五公理的人多了去了，窮其一生也沒有人知道他們的名字，這就是沒有導師指點的結果。當然，大部分碩導，博導也是沒有這種眼光的。不要跟他們一般計較。
總結完歷史，就該言歸正傳說說微積分了。龔老師用了矛盾論的觀點，說微積分是研究什麼的，就是研究微分和積分，以及微分和積分是一對矛盾的事情。現在我才恍然大悟，爲什麼牛頓和萊布尼茨發明了微積分！因爲他們都說了這樣的觀點：微分和積分是一對互逆的運算。而對應到高維空間，微積分基本公式其實就是斯托克斯公式的外微分形式，因爲它也是把微分和積分當做一對矛盾來表達的。
既然是一對矛盾，他們中就會有相似的地方，比如微分中值定理與積分中值定理。再比如其積分的幾種基本方法與微分的幾個性質之類的。
在他們之前，微分和積分的更多的是以求瞬時速度，曲線的切線，弧長，曲邊梯形的面積之類的問題出現的，而且對於一些特定的問題，已經有了一些解法，比如求x的平方曲線下面的面積，通過對x軸不等分，然後分割求和取極限，也能求出結果。但是直到微積分的出現，纔是得這類問題有了統一的解法，或者說根本不成問題。
但是很可惜，當時雖然利用了微積分解決了不少問題，但是他們的基礎並不牢固，尤其是無窮小量0，受到了很多人的攻擊，直到柯西和weierstrass等一批數學完成了分析算術化。其中柯西給出了極限的概念，比如要多小有多小，還利用這個概念成功的推倒了微分中值定理等內容，而weierstrass，則用epson-delta語言說明了什麼是極限，進而避免了無窮小量0。說是語言，表明其實還有另一種方法來解決這個問題，那就是非標準化分析，但是很可惜，這個東西雖然可以得出跟一般微積分差不多的結果，但是沒有什麼重大的創新，自然就慢慢沒落了。
有了微積分以後，在其上面又慢慢發展了其他一些相關理論。比如常微分方程，偏微分方程、積分方程，變分法等內容。這些內容很快的應用到了工程領域，解決了一些問題，但是其實人們對於這些內容是瞭解的很少的。只能解決一些線性的、特殊的問題。但聊勝於無吧。而分析學本身這個領域也有很多發展，比如原先的微積分應用範圍比較小，基本上只能討論連續的函數，與之相差的不過是一個測度爲；零的集合；很多定理的條件都很強；黎曼可積空間是不完備的，等等。爲了解決這些問題，慢慢發展出了勒貝格積分，也就是實變函數的內容；將微積分的思想，方法擴充到複數域，形成了複變函數的內容。但實際上，那些可以簡單得到的結論，並不是複變函數的主要內容，複變函數的主要工作，是那些在實數上沒有的結果，大概分三個方向：一.是分析的，柯西積分公式以及後面的那一套理論；二.級數的，也就是洛朗級數那一套3.幾何的理論。（抱歉我復變的書上完大學就不見，以後有空再慢慢看看）。然後是是流型上的微積分和泛函分析。不過後兩個我都沒學過，不敢做評價。
最後我有百度了一下，發現龔升老師已經去世了，不禁唏噓不已。老師的視頻是大約是十年前拍攝的。當時的音容笑貌宛如昨日啊。
講座的開始兩節，龔老師首先回顧的就是數學的歷史。
1900年，年僅39，但已經名聲顯赫的數學家希爾伯特在世紀之交的數學家大會上做了演講，其中有一段話的大意是說，數學中真正的進展，是用更有力的工具盒更簡單的方法，代替了原先陳舊的、複雜的方法。
現在看來，這真是大師級別的概括。數學的歷史可以追溯到好幾千年以前。那時候人們以及開始需要計數和算數了。這些內容，其實就是我們小學學的知識。又不知道過了多少年，產生了用字母代替數字的代數，這其實是我們初中學的內容。初中代數中，有兩個特別重要的問題，就是多元一次方程組的求解和一元二次方程。其中多元一次方程組解起來特別麻煩，所以又有了線性代數，求解方程不過是求矩陣的逆；而有了一元二次方程求解、一元三次方程求解，以後，大批的數學都在致力於高次方程的求解高次的方程，有的方法很巧妙，有的對於特殊問題能夠求解，但是不能一般化。直到伽羅瓦和阿貝爾提出了現在近世代數中的內容，才解決了什麼方程是可解的，什麼不可解這類問題。這纔是用更有利的工具和更簡單的方法替代了原來陳舊的方法。在幾何中也是很明顯的，初中的時候平面幾何挺難的，高中時候立體幾何也不容易。但是上大學以後，我就沒學過幾何了，這是爲什麼呢？因爲大部分初等的幾何問題，都可以通過引入座標系，通過代數的方法來解決。計算的困難程度，是遠遠小於證明的，這也是巨大的進步。這關鍵的一步，就是費馬和笛卡爾引入了座標系的概念。（這也爲以後函數，微積分埋下了伏筆）。而幾何中真正的進展，來源於非歐幾何，進而從非歐幾何發展爲黎曼幾何。當時愛因斯坦研究相對論時，就是使用黎曼幾何作爲模型研究的。說完了代數和幾何，再看另一門古老的學問，三角函數，我當時上學時特別討厭他們，因爲公式太多：和差化積，積化和差，兩角和，二倍角，萬能公式等等。後來聽了龔老師的說法，其實只要記住歐拉公式就OK了。我試了一下，果然是這樣，有一種相見恨晚的感覺。這也是用高級的、簡單的方法代替初級的、複雜的方法。這是數學發展的規律。
數學發展的另一個很有意思的特點是，他不是一門“實驗”科學，可以驗證它。相反的例子是和數學聯繫緊密的物理，你提出了一套理論，必須通過實驗驗證這個東西對不對。數學更像是一套方法論，你沒法說它對不對，只能看以後有沒有人用，能否用你的理論解決實際問題。
數學發展的另一個特點是，要有偉大的成就，必須要有好的導師指點。老師舉出了很多例子，比如大名鼎鼎的哥廷根學派，裏面一串串各種定理中的名字。高斯、黎曼、狄利克雷，雅可比，克萊因和希爾伯特。但是很可惜，二戰的到來，使得他們解散了，裏面的一大批人去了美國：
這裏只需列出一張從德國(包括奧地利、匈牙利)到美國避難的數學家和物理學家的部分名單，就可見人材轉移之一斑了。愛因斯坦(1879～1955，偉大的物理學家)；弗蘭克(J．Franck，1882～1964．1925年獲諾貝爾物理學獎)；馮·諾依曼(1903～1957，傑出數學家之一)；柯朗(1888～1972，哥廷根數學研究所負責人)；哥德爾(1906～1976，數理邏輯學家)；諾特(1882～1935，抽象代數奠基人之一)；費勒(W．Feller，1906～1970，隨機過程論的創始人之一)；阿廷(1896～1962，抽象代數奠基人之一)；費裏德里希(K．Friedrichs，1901～1983，應用數學家)；外爾(1885～1955，傑出的數學家之一)；德恩(1878～1952，希爾伯特第3問題解決者)；此外還有波利亞、舍荀(Szeg)、海林格(Hellinger)、愛華德(Ewald)、諾爾德海姆(Nordheim)、德拜(Debye)、威格納(Wigner)等等。
好的導師，是有遠見的，他能看到現在有什麼重大問題值得去解決。古往今來爲了證明歐幾里得第五公理的人多了去了，窮其一生也沒有人知道他們的名字，這就是沒有導師指點的結果。當然，大部分碩導，博導也是沒有這種眼光的。不要跟他們一般計較。
總結完歷史，就該言歸正傳說說微積分了。龔老師用了矛盾論的觀點，說微積分是研究什麼的，就是研究微分和積分，以及微分和積分是一對矛盾的事情。現在我才恍然大悟，爲什麼牛頓和萊布尼茨發明了微積分！因爲他們都說了這樣的觀點：微分和積分是一對互逆的運算。而對應到高維空間，微積分基本公式其實就是斯托克斯公式的外微分形式，因爲它也是把微分和積分當做一對矛盾來表達的。
既然是一對矛盾，他們中就會有相似的地方，比如微分中值定理與積分中值定理。再比如其積分的幾種基本方法與微分的幾個性質之類的。
在他們之前，微分和積分的更多的是以求瞬時速度，曲線的切線，弧長，曲邊梯形的面積之類的問題出現的，而且對於一些特定的問題，已經有了一些解法，比如求x的平方曲線下面的面積，通過對x軸不等分，然後分割求和取極限，也能求出結果。但是直到微積分的出現，纔是得這類問題有了統一的解法，或者說根本不成問題。
但是很可惜，當時雖然利用了微積分解決了不少問題，但是他們的基礎並不牢固，尤其是無窮小量0，受到了很多人的攻擊，直到柯西和weierstrass等一批數學完成了分析算術化。其中柯西給出了極限的概念，比如要多小有多小，還利用這個概念成功的推倒了微分中值定理等內容，而weierstrass，則用epson-delta語言說明了什麼是極限，進而避免了無窮小量0。說是語言，表明其實還有另一種方法來解決這個問題，那就是非標準化分析，但是很可惜，這個東西雖然可以得出跟一般微積分差不多的結果，但是沒有什麼重大的創新，自然就慢慢沒落了。
有了微積分以後，在其上面又慢慢發展了其他一些相關理論。比如常微分方程，偏微分方程、積分方程，變分法等內容。這些內容很快的應用到了工程領域，解決了一些問題，但是其實人們對於這些內容是瞭解的很少的。只能解決一些線性的、特殊的問題。但聊勝於無吧。而分析學本身這個領域也有很多發展，比如原先的微積分應用範圍比較小，基本上只能討論連續的函數，與之相差的不過是一個測度爲；零的集合；很多定理的條件都很強；黎曼可積空間是不完備的，等等。爲了解決這些問題，慢慢發展出了勒貝格積分，也就是實變函數的內容；將微積分的思想，方法擴充到複數域，形成了複變函數的內容。但實際上，那些可以簡單得到的結論，並不是複變函數的主要內容，複變函數的主要工作，是那些在實數上沒有的結果，大概分三個方向：一.是分析的，柯西積分公式以及後面的那一套理論；二.級數的，也就是洛朗級數那一套3.幾何的理論。（抱歉我復變的書上完大學就不見，以後有空再慢慢看看）。然後是是流型上的微積分和泛函分析。不過後兩個我都沒學過，不敢做評價。
最後我有百度了一下，發現龔升老師已經去世了，不禁唏噓不已。老師的視頻是大約是十年前拍攝的。當時的音容笑貌宛如昨日啊。
