【校內模擬】西行寺無餘涅槃（FWT）

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題解：

直接做 FWT 考慮下面這個式子：

$\hat F_S=\prod_{i=1}^n(\sum_{j=1}^k(-1)^{|S\cap p[i][j]|}a_j)$

如果裸做 FWT 複雜度是 $O(2^mmnk)$，如果直接用上面的式子算出點值然後 IFWT 複雜度是 $O(2^m n k)$，不管怎麼做都不太友好。

考慮 $\prod_{i=1}^m\limits$ 後面那個括號裏面的東西，不難發現對於不同的 $i$，可能的取值只有 $2^{k}$ 種。

我們強制每個位置把 $p[i][1]$ 選上，其他的 $p[i][j]$ 全部異或上 $p[i][1]$，最後輸出的時候異或回去。這樣可能的取值只有 $2^{k-1}$ 種。我們只需要對於每一個 $\hat F_S$，計算這 $2^{k-1}$種取值出現了多少次。

然後是一個比較巧妙的構造。

假設我們想要求出$F_{S,T}$，表示在$\hat F_S$的表達中，$T$形態出現了多少次。我們可以考慮構造出若干組方程，然後解方程來得到$F_{S,T}$的值。

解方程的方式可以考慮IFWT，於是考慮構造出$\sum_{W}(-1)^{|W\cap T|}F_{S,W}$。

既然這樣，考慮每一種 $T$ 該如何貢獻到某個 $S$，顯然直接在 $\oplus_{j\in T}p[i][j]$ 的位置+1，然後對 $S$ 進行 FWT 即可。

證明的話其實問題也不大，考慮 FWT 之前的點值爲 $H_{S,T}=\sum_{i=1}^n[S=\oplus_{j\in T}p[i][j]]$

FWT 得到 $H_{\hat S,T}=\sum_{i=1}^n\prod_{j\in T}(-1)^{|S\cap p[i][j]|}$

而 $F$ 的點值表示爲 $F_{S,T}=\sum_{i=1}^n\prod_{j=1}^{k-1}\left[[j\in T]=[|S\cap p[i][j]|\%2=1]\right]$

對 $T$ 進行 FWT 可以得到 $\begin{aligned} F_{S,\hat T}&=\sum_{W}(-1)^{|W\cap T|}\sum_{i=1}^n\prod_{j=1}^{k-1}\left[[j\in W]=[|S\cap p[i][j]|\%2=1]\right]\\ &=\sum_{i=1}^n(-1)^{\sum_{j\in T}(-1)^{|S\cap p[i][j]|}} \end{aligned}$

和上面其實是一樣的。

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代碼：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define re register
#define cs const

namespace IO{
	inline char gc(){
		static cs int Rlen=1<<22|1;static char buf[Rlen],*p1,*p2;
		return (p1==p2)&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,Rlen,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++; 
	}template<typename T>T get_integer(){
		char c;while(!isdigit(c=gc()));T x=c^48;
		while(isdigit(c=gc()))x=x*10+(c^48);return x;
	}inline int gi(){return get_integer<int>();}
	char obuf[30000007],*oh=obuf;
	template<typename T>void print(T a,char c=' '){
		static char ch[23];int tl=0;
		do ch[++tl]=a%10; while(a/=10);
		while(tl)*oh++=ch[tl--]^48;*oh++=c;
	}struct obuf_flusher{~obuf_flusher(){fwrite(obuf,1,oh-obuf,stdout);}}Flusher;
}using namespace IO;

using std::cerr;
using std::cout;

cs int mod=998244353;
inline int add(int a,int b){return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;}
inline int dec(int a,int b){return a-b<0?a-b+mod:a-b;}
inline int mul(int a,int b){ll r=(ll)a*b;return r>=mod?r%mod:r;}
inline void Inc(int &a,int b){a+=b-mod;a+=a>>31&mod;}
inline void Dec(int &a,int b){a-=b;a+=a>>31&mod;}
inline void Mul(int &a,int b){a=mul(a,b);}
inline int po(int a,int b){int r=1;for(;b;b>>=1,Mul(a,a))if(b&1)Mul(r,a);return r;}
inline void ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(!b){x=1,y=0;return;}ex_gcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;
}inline int inv(int a){int x,y;ex_gcd(mod,a,y,x);return x+(x>>31&mod);}


int n,m,k;

void FWT(int *A,int S){
	for(int re i=1;i<S;i<<=1)
	for(int re j=0;j<S;j+=i<<1)
	for(int re k=0;k<i;++k){
		int x=A[j+k],y=A[i+j+k];
		A[j+k]=add(x,y),A[i+j+k]=dec(x,y);
	}
}void IFWT(int *A,int S){
	FWT(A,S);int iS=inv(S);
	for(int re i=0;i<S;++i)Mul(A[i],iS);
}

cs int N=1e6+7;int S,T,xr;
int a[11],p[N][11],G[1<<10|7],H[1<<20|7];
int vl[1<<10|7],*f[1<<19|7];

void Main(){
	n=gi(),m=gi(),k=gi();
	for(int re i=0;i<k;++i)a[i]=gi();
	S=1<<m;T=1<<(k-1);
	for(int re s=0;s<T;++s){vl[s]=a[0];
		for(int re i=1;i<k;++i)
			(s>>(i-1)&1)?Dec(vl[s],a[i]):Inc(vl[s],a[i]);
	}
	for(int re i=1;i<=n;++i){
		for(int re j=0;j<k;++j)p[i][j]=gi();
		for(int re j=1;j<k;++j)p[i][j]^=p[i][0];
		xr^=p[i][0];
	}for(int re s=0;s<T;++s){
		memset(H,0,sizeof(int)*S);
		for(int re i=1;i<=n;++i){
			int ps=0;
			for(int re j=1;j<k;++j)
				if(s&(1<<(j-1)))ps^=p[i][j];
			++H[ps];
		}FWT(H,S);f[s]=new int[S];
		for(int re i=0;i<S;++i)f[s][i]=H[i];
	}for(int re i=0;i<S;++i){
		for(int re s=0;s<T;++s)G[s]=f[s][i];
		FWT(G,T);H[i]=1;
		for(int re s=0;s<T;++s)Mul(H[i],po(vl[s],G[s]>>(k-1)));
	}IFWT(H,S);for(int re i=0;i<S;++i)print(H[i^xr],' ');
}

inline void file(){
#ifdef zxyoi
	freopen("yuyuko.in","r",stdin);
#endif
}
signed main(){file();Main();return 0;}