爲什麼算出來的圓周率 π 等於 4 ？

按照下圖的算法，似乎可以算出圓周率  等於4：

這個結論肯定是錯誤的，這篇文章就來仔細解釋下。

1 周長和麪積

確實，隨着不斷彎折，圓外多邊形看上去越來越接近圓：

那爲什麼文章開頭的結論是錯誤的呢？我們需要明白，在這個彎折過程中，圓外多邊形的周長和麪積發生了不同的改變：

• 圓外多邊形的周長始終保持不變，並沒有逼近圓的周長

• 圓外多邊形的面積不斷逼近圓的面積，所以看上去圓外的多邊形看上去越來越接近圓

1.1 周長不變

將圓的右上角放大，可見外接正方形的邊無論折成多少個階梯，只要恰當地平移這些階梯，就可以還原出之前的正方形（動圖出處）：

也就是說，在彎折過程中，圓外多邊形的周長始終爲4：

更代數一點，可用數列  來表示彎折過程中外面多邊形的周長，很明顯該數列的極限爲：

這是一個常數數列，該數列的極限爲4，這說明彎折過程中圓外多邊形的周長是沒有發生變化的。

1.2 面積逼近

一開始，外接正方形和圓形的面積大概相差4個直角三角形，也就是下圖中藍色的四個直角三角形。因爲圓的直徑爲1，所以容易推出這四個直角三角形的面積之和爲  ，也就是說外接正方形和圓形的面積大概相差  ：

不斷地彎折圓外多邊形，可以算出這些直角三角形的和是在不斷減小的，也就是圓外多邊形和圓形的面積差在不斷減小：

這說明圓外多邊形的面積在不斷逼近圓形的面積。

1.3 科赫雪花

綜上，之所以得到錯誤的結論，是我們直覺上認爲面積逼近的同時周長也會逼近。這個直覺是錯誤的，周長和麪積並沒有絕對的對應關係。來看一個更極端的例子，像下面動圖一樣，從邊長爲  的等邊三角形開始，可以生成類似於雪花的圖像，也稱爲科赫雪花：

可以證明，科赫雪花的面積的極限爲  ，但周長的極限爲無窮大，具體細節可以參考這裏。

2 另外一個問題

下面來看一個類似的問題，這個問題可以幫助我們思考得更深一些。同樣是直徑爲1的圓，在它的圓周上畫滿相切的圓：

如果交替地取這些圓在圓周內的部分和圓周外的部分，就構成了一條纏繞着圓周的連續曲線：

上圖中的曲線是由8個圓組成的，當然可以用更多的相切圓來構造該曲線。隨着相切圓的增加，該曲線的周長會持續縮小，但是到一定程度後周長就不再縮小了：

實際上，該曲線的周長會停留在該數值附近，並不會逼近圓的周長。背後到底是什麼原因，使得曲線周長沒有逼近圓的周長？

3 切線

在微積分中學習過，在一定的條件下， 點附近的曲線可以用切線來近似（這是《單變量微積分》中的內容）：

3.1 曲線的長度

假如要計算曲線在  之間的長度，可以將把  切成  份，對應的曲線也被分成了  份：

因爲切線是對曲線的近似，所以可用每個部分的切線段長度來近似每個部分的曲線段：

進一步細分  ，也就是讓  變得更大，可以看到近似的效果會越來越好：

當  時，這些切線段的長度加起來就是曲線的長度。

3.2 錯誤的逼近

回頭來看一下，之前的例子是用折線或者曲線去逼近圓形的周長：

而不是用圓形的切線去逼近圓形的周長，這就是得出錯誤結論的原因。

3.3 爲什麼是切線

那爲什麼圓形的切線才能去逼近圓形的周長呢？這個問題可能需要用整個《單變量微積分》課程來回答。這裏就簡單說一下重點，可以證明，曲線的切線和曲線之間相差一個 高階 無窮小，也就是下圖標註的  ：

上述說法反過來也是成立的：

在計算圓形周長的例子中，用來近似圓形周長的折線、曲線，它們只和圓形相差了一個無窮小。這裏不去深究具體的代數表達式，只需要知道，高階 無窮小的意思就是比無窮小還要小。也就是說，圓形的切線是最接近圓形的，因爲它們之間相差最小（高階無窮小）。所以，必須用切線才能成功逼近。

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