《幾何原本》是人類文明的一個轉折點，而《獨立宣言》是人類文明的一個里程碑，這兩者背後有着相同的思維方式。本文就來解釋下這種思維方式是什麼，以及這種思維方式是怎麼從《幾何原本》到《獨立宣言》。
1 《幾何原本》
大名鼎鼎的歐幾里得寫了《幾何原本》，這句話反過來說可能更合適，因爲寫了《幾何原本》後，歐幾里得才得享大名：
其中的內容現在看來平平無奇，大概就是從小學到高中學習的各種幾何知識，比如勾股定理 
在當時這些知識還是很重要的，《幾何原本》出版後的一兩千年中，人們都是通過這些幾何知識，來描述、研究這個世界：
1.1 思維方式
《幾何原本》問世大概八百年後，公元5世紀的普羅克勒斯給《幾何原本》做註解時提到，勾股定理的發現應該歸功於畢達哥拉斯。實際上，與勾股定理類似，《幾何原本》幾百個定理中很多都不是歐幾里得的原創。但這並不妨礙《幾何原本》被稱爲傳世之作，比這些內容更重要的是，《幾何原本》帶來了革命性的思維方式。
首先書中提出了五大公理，這些公理（歐幾里得以及當時的大部分人認爲）都是一些很簡單的事實，都是不證自明、毋庸置疑、顯而易見：
（1）從一點向另一點可以引一條直線
（2）任意線段能無限延伸成一條直線
（3）給定任意線段，可以以其一個端點作爲圓心，該線段作爲半徑作一個圓
（4）所有直角都相等
（5）若兩條直線都與第三條直線相交，並且在同一邊的內角之和小於兩個直角，則這兩條直線在這一邊必定相交
然後通過邏輯推理，或者說通過演繹法，得到《幾何原本》中的幾百個定理。也就是說，這幾百個定理的邏輯起點是五大公理，只要你認可五大公理，那麼後面的定理必然都是永恆正確的，無可辯駁的。
1.2 影響
由於《幾何原本》的革命性，使得它成爲了數學史上最成功、最不朽的教科書，據說《幾何原本》在西方的出版量僅次於聖經。更重要的是，它極大影響了後面數學的發展，比如微積分和概率論都建立在三大公理之上（線性代數建立在八大公理之上，太多了，這裏就不列出了）：
它的影響力甚至超越了數學，比如牛頓力學受《幾何原本》的影響提出三大假設，而狹義相對論提出兩大假設，只要承認下面的假設是正確的，那麼就等價於承認牛頓力學，或者狹義相對論是完全正確的：
所以說，《幾何原本》稱得上人類文明的轉折點。
2 《利維坦》
“如果你有一把錘子，所有東西看上去都像是釘子”：
《幾何原本》中的思維方式就是那把“錘子”。任何一個學習過《幾何原本》的人，很難不擊節讚賞這種思維方式，然後想把這把“錘子”用在別的地方。比如牛頓和愛因斯坦都深受這種思維方式的影響，並且恰當地用在了自己關注的領域。
2.1 托馬斯·霍布斯
不過本文要提到使用這把“錘子”的是另外一位名人，有史以來最偉大的政治哲學家之一，16世紀的托馬斯·霍布斯：
霍布斯1588年4月5日生於英格蘭威爾特郡的馬姆斯伯裏。他是一個早產兒，當時他的母親因聽聞西班牙無敵艦隊將入侵英格蘭的驚嚇而早產，日後霍布斯常說：我母親生了雙胞胎，我的孿生兄弟是恐懼。而他的一生也確實是在社會局勢動盪不安恐懼氛圍中渡過的。他父親因與不是自己小教區的牧師打鬥，被迫逃到倫敦，並將三名子女都寄託給他哥哥法蘭西斯照顧。
1642年英國內戰爆發，國王查理一世被送上了斷頭臺，最終英國陷入了無政府狀態。霍布斯看到暴徒在欺辱他們的同胞，莊園化爲灰燼，馬斯頓荒原和納斯比淪爲血腥的戰場。霍布斯感到痛苦和絕望，他在反思，這場內戰明明是以“自由”的名義開始的（反抗國王的專制），爲什麼最後只帶來了無休止的混亂和戰爭？而且，在歷史長河中這樣的事情反覆發生，不論什麼原因導致的戰爭，最終都不能帶來真正的和平。
2.2 幾何學家霍布斯
介紹霍布斯的反思結果之前，我們有必要知道他的另外一個身份：幾何學家。霍布斯與幾何結緣是一個傳奇的故事，從未學習過數學的他，40歲的時候，偶然在一個圖書館的書桌上，看到一本攤開的《幾何原本》，書上的內容正是第47項定理，也就是勾股定理：
對於勾股定理的結論，霍布斯當時驚訝地說道：“上帝啊，這是不可能的”。於是他仔細觀看了證明過程，這使得他又去參考了書中之前的一個類似的定理，然後又參考了更之前的一個定理，就像俄羅斯套娃一樣，一直追溯到了五大公理。就這樣，他被嚴格的證明過程徹底征服，最終相信了這個定理。
這次經歷讓霍布斯迷戀上了幾何學，也見識到了《幾何原本》中的“錘子”，或者說《幾何原本》中的思考方式。霍布斯感嘆道，幾何學是“迄今爲止上帝賜予人類的唯一科學”，因爲其中每一個證明都建立在另一個更簡單的結果之上，所以人們可以逐步進行邏輯推理，從不證自明的公理出發，一直可以得到更復雜的結果。這在霍布斯看來是非常了不起的成就，終於有一門學科可以真正證明其結果，同時人們又不會對該結果產生任何疑問，進行任何爭論。
在隨後的幾年裏，霍布斯努力彌補了由於起步較晚而落下的幾何學知識，到了17世紀40年代，他已經與同時代的領先數學家保持着經常性地聯繫，包括笛卡爾、羅伯瓦爾和費馬。後來霍布斯擔任了流亡的威爾士親王的數學家庭教師，這說明他已經成爲了當時最受人尊敬的英國幾何學家之一。
2.3 《利維坦》
因爲幾何學家的緣故，霍布斯對戰爭反思的結果是，過去的所謂政治家、哲學家之所以失敗，是因爲他們依靠的是有缺陷的、不確定的推理方法，他們“按照自己的幻想來解決所有問題”。結果他們沒有帶來和平和一致意見，而是導致了衝突和戰爭。相反，幾何學會迫使人們達成共識，“因爲在幾何學中，當其他人發現了他的錯誤之後，沒有人會愚蠢到既然發現了錯誤卻還堅持這個錯誤的地步”。所以，霍布斯認爲，如果國家制度可以遵循幾何學的指引，就可以產生和平，避免內戰。
在這樣的思想指導之下，霍布斯寫了《論物體》、《論人》、《論政體》，最終成就了巔峯之作《利維坦》（下圖是《利維坦》書的封面）：
在這一系列作品中，霍布斯認爲自己完全遵循了幾何模型。他的哲學體系開始於《論物體》的簡單定義，就像《幾何原本》開始於五大公理。並且正如《幾何原本》的證明過程一樣，霍布斯的政治哲學從簡單的幾何對象開始，逐步擴展到空間、物質、運動、物理、天文等方面的一系列問題。最終，在這條長長的推理鏈末端達到了整個理論體系的終極主題：國家理論。
在霍布斯純粹的理性推導出來的國家理論中，要想達成和平，唯一解決方案就是利維坦。在霍布斯的語境中，利維坦就是塵世間的上帝，人們放棄自己的自由意志，從屬於利維坦的意志；利維坦也會代表所有人的和平意願。利維坦是絕對不會犯錯的，無論它做什麼，國家中的每個人都承認並認同它的行爲，這樣在利維坦的統治下，絕對不可能再發生內戰。
上面《利維坦》書的封面畫的巨人國王，代表的就是利維坦。他頭戴皇冠，左手拿着主教的權杖，右手拿着一把寶劍，身體由國家內無數的個人組成。他統治着這片土地，保障着和平與秩序。
2.4 爭論
《利維坦》提出了前所未有的大膽構想，使得它在西方思想史上擁有崇高的地位。但如果要付諸實現，確實會引起極大的爭論（希特勒的納粹德國可能想實踐利維坦）。
隨便看一個爭論吧，有人駁斥道，利維坦橫徵暴斂，難道也是對的嗎？霍布斯的辯解是，你看看那些經歷外患或內部騷亂的國家，他們的人民對執政者往往就存在疑義。而那些能長存在沒有滅亡的國家，他們的人民從來沒有對國家發生過質疑。
總之，霍布斯這套國家理論相當難以駁斥。他自己也說，我這套理論就是基於幾何法則推導出來的，不可能錯。
3 《獨立宣言》
霍布斯在政治領域運用《幾何原本》這把“錘子”也影響了後來者，美國的《獨立宣言》爲了激發人們對其內容的信心，也採取了《幾何原本》的形式來書寫。首先提出一個公理，“我們認爲這是一個不證自明的真理：人人生而平等，造物者賦予他們若干不可剝奪的權利，其中包括生命權、自由權和追求幸福的權利”（“We hold these truths to be self-evident, that all men are created equal, that they are endowed by their creator with certain unalienable rights, that among these are life, liberty and the pursuit of happiness”）：
然後推出了一系列的定理：
（1）“爲了保障這些權利，人類纔在他們之間建立政府，而政府之正當權力，是經被治理者的同意而產生的。”
（2）“當任何形式的政府對這些目標具破壞作用時，人民便有權力改變或廢除它，以建立一個新的政府；其賴以奠基的原則，其組織權力的方式，務使人民認爲唯有這樣才最可能獲得他們的安全和幸福。”
（3）“當追逐同一目標的一連串濫用職權和強取豪奪發生，證明政府企圖把人民置於專制統治之下時，那麼人民就有權利，也有義務推翻這個政府，併爲他們未來的安全建立新的保障。”
在《獨立宣言》發表之前，北美大地上並沒有國家，只有一些殖民地。它們在理論上屬於大英帝國，實際上由自己管理，即“主權王有，治權民有”，最後這些殖民地在《獨立宣言》的思想框架下逐漸形成了美國。以一個邏輯的產物，《獨立宣言》作爲立國之本，這也算是人類文明的一個里程碑了。
4 缺陷
《幾何原本》看起來似乎完美，其實也有各種缺陷，下面嘗試列舉一二。
4.1 化圓爲方
《幾何原本》的優點是所有的結論都是基於五大公理的，但這也是它的缺點，即沒有辦法產生新的知識。那麼自然也無法解決超綱的題目，比如著名的“化圓爲方”問題，也就是隻通過尺規，求一正方形，其面積和一已知圓的面積相同（這個問題後來被代數學證明是無法被《幾何原本》中的知識解決的）：
其實這也正常，哪有可以解決所有問題的“錘子”呢？但是因爲《利維坦》無限拓展到解決國家問題，所以很多人都藉此點來攻擊《利維坦》。霍布斯也嘗試重新修正《幾何原本》，企圖解決“化圓爲方”問題。
4.2 黎曼幾何
《幾何原本》是依賴於五大公理的，那麼五大公理本身是否正確呢？還有沒有別的公理形式呢？如果有別的公理形式，那麼究竟哪種是正確的呢？這其實是無法判斷的，就好像應該信上帝還是信佛主，也是沒有對錯的。
比如，《幾何原本》的第五公理，“若兩條直線都與第三條直線相交，並且在同一邊的內角之和小於兩個直角，則這兩條直線在這一邊必定相交”，也可以寫成等價的形式，“給定一條直線，通過此直線外的任何一點，有且只有一條直線與之平行”。黎曼將這條修改了一下，“在同一平面內任何兩條直線都有公共點（交點）”，然後依據《幾何原本》的形式推出了完全不一樣的幾何學。這個幾何學實際上就是球面上的幾何。可以看到，在有限的球面上確實沒有平行的直線：
相對論就是基於黎曼幾何的，如果說《幾何原本》是地球上的幾何的話，那麼黎曼幾何就是宇宙中的幾何。
最新版本在：怎樣從《幾何原本》到《獨立宣言》？