【校內模擬】親（斯特林反演推式子）

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另一種做法：

直接考慮答案的表達式：

$Ans=\sum_{i=0}^n{n\choose i}Q^i\sum_{j=1}^ij^k$

考慮對 $j$ 轉下降冪，利用第二類斯特林數。

$\begin{aligned} Ans&=\sum_{i=0}^n{n\choose i}Q^i\sum_{j=1}^i\sum_{t=0}^kS_{k,t}{j\choose t}t!\\ &=\sum_{t=0}^kt!S_{k,t}\sum_{i=0}^n{n\choose i}Q^i\sum_{j=0}^i{j\choose t}\\ &=\sum_{t=0}^kt!S_{k,t}\sum_{i=t}^n{n\choose i}Q^i{i+1\choose t+1}\\ &=\sum_{t=0}^k\frac{S_{k,t}}{t+1}Q^tn^{\underline t}\sum_{i=0}^{n-t}{n-t\choose i}(i+t+1)Q^i\\ \end{aligned}$

前面的全是常量，後面的把 $i$ 和 $t+1$ 分開可以發現結果就是 $(t+1)(Q+1)^{n-t}+(n-t)Q(Q+1)^{n-t-1}$。

二項式反演求出第二類斯特林數即可一個log算出答案。

過程中有一個下降冪轉組合數前綴和，這是二項式展開的方法不可模仿的。