克雷數學研究所在2000年5月24日公佈了七大數學難題，被稱爲千禧數學問題，並且給出懸賞，這些問題每解決一個都可以獲得一百萬美金的獎金。所有問題都懸而未決，除了龐加萊猜想，本文就來介紹下龐加萊猜想講的是什麼。
1 地球真的是圓的嗎？
歷史上很長的時間，人們都覺得地球是平的：
中世紀的歐洲人普遍相信歐洲最西南端的葡萄牙的羅卡角就是大陸的盡頭，此處有一塊石碑上面刻着詩人卡蒙斯（Camões）的名句，“陸止於此，海始於斯”：
1519年，麥哲倫帶領5支船、約270人組成的遠航隊伍，從歐洲的西南部出發，一路向西航行。這條航路沒有人走過，充滿未知，一路上困難重重，麥哲倫本人都死在了菲律賓。最終3年後只有一艘船回到了葡萄牙：
轉了一圈回來是不是說明地球就是圓的了？不一定，如果是“甜甜圈”形狀，麥哲倫也可能轉一圈回到原地：
直到最後我們跳出地球，才能完全確定地球真的不是“甜甜圈”（下圖是月亮上看到的地球）：
2 宇宙的形狀
面對地球我們還有能力跳出去俯瞰，但浩瀚的宇宙目前看來跳出無望，該怎麼確定它的形狀呢？
讓我們來做一個思想實驗，給一顆子彈尾部捆上足夠長的繩子，並且把這顆子彈射向太空，假設這顆子彈環繞宇宙一圈後回到了地球：
這條繩子就被彈頭帶着圍繞宇宙轉了一圈，構成了一個繩圈，然後用手拉着繩圈的兩頭使勁往回扯：
假想我們跳到宇宙的外面，會看到如果宇宙是球形的，那麼這個繩圈最終會收回地球：
而如果宇宙是“甜甜圈”形狀的，這個繩圈會被中間的孔洞擋住，最終無法收回地球：
這個思想實驗告訴我們：如果宇宙是球形的，那麼繩圈一定可以收回地球。而龐加萊猜想是反過來說的：
當然這個猜想還有更專業的、更高大上的版本：
任一單連通的、封閉的三維流形與三維球面同胚。----龐加萊猜想
3 拓撲
儒勒·昂利·龐加萊（1854－1912）：
在1904年的名爲《對位相分析學的第5次補充》論文中提出了龐加萊猜想。所謂的位相分析學後來發展爲數學重要的分支“拓撲學”。龐加萊猜想最重大的意義就是隨着它的誕生、以及深入地研究，加深了人們對形狀的理解，促使“拓撲學”誕生和完善。
拓撲學是關於形狀（術語是流形）的數學分支。在拓撲學之前，我們對於形狀是這麼理解的：
不過在剛纔在描述宇宙是“球形”的時候，實際上圖像並不是標準的“球形”。在龐加萊猜想中，或者說“拓撲”這個數學分支中，並不關心傳統意義上的、精確的形狀，它會認爲任何三維中有一個“洞”的形狀都等同於“甜甜圈”（比如下面的茶杯），任何三維中沒有“洞"的就等同於“球形”（比如下面的橡皮奶牛）：
據說龐加萊連圓形和三角都分不清楚，所以才導致了拓撲學的研究。如果真是這樣，只能說他是拓撲學的天選之子。
不管拓撲看起來多麼古怪，在龐加萊猜想的研究中卻恰如其分。在這裏，我們剔除掉傳統形狀的長度、角度、圓心、周長、面積這些概念，只關心有一個孔還是沒有孔，這點唯一決定了繩圈是否可以收回。
4 帕帕
在龐加萊猜想提出到解決的100多年時間裏，太多的勇士前仆後繼，想要獲得這至高的榮譽。在我印象中最令人唏噓的就是赫里斯託斯·帕帕基里亞科普洛斯（1914－1976）：
他的名字實在太長，所以通常簡稱爲帕帕。當時身爲普林斯頓大學的研究員，帕帕每天早上8點出現在餐廳吃早餐，8點半準時開始研究工作，11點半吃午餐，12點半返回繼續工作，然後15點進入公共休息室喝下午茶，16點又返回辦公室，精準到完全可以根據他的作息來校對手錶。
他幾乎把所有的時間都貢獻給了數學，爲了證明龐加萊猜想，其他的所有一切都拋之腦後。普林斯頓大學曾邀請帕帕出任教授一職，並且破格給出了只需要帕帕每週承擔三個小時的教學工作（你要知道有多少人想得到教授職位）。他的回答是，自己只想作爲研究員專心於龐加萊猜想的證明工作。
同時代的沃夫岡·哈肯宣佈自己證明了龐加萊定理，最後在提交論文之前哈肯自己發現了致命錯誤。這次失敗讓哈肯博士陷入了暴食症，後來他評判自己當時患上了“龐加萊猜想綜合症”。真正治癒他的是沒多久後，他轉向研究“四色問題”，並且最終證明出來。看來治療“龐加萊猜想綜合症”需要另外一個難題，數學家始終難以擺脫“挑戰難題”這種病。
另外一個“龐加萊猜想綜合症”患者帕帕在沃夫岡·哈肯宣佈自己證明出龐加萊猜想的這段時間裏，生命彷彿被抽空，這對於本來抑鬱的他更是雪上加霜。不過上帝對於他還是仁慈的，只是虛驚一場。
這位賭上全部人生想要證明“龐加萊猜想”的男人後來患上了胃癌，撒手人寰。希臘有部暢銷小說《Uncle Petros and Goldbach's conjecture》，其中的天才數學家彼得羅斯就是以帕帕爲原型創作的。彼得羅斯在書中也有一個奉獻終身的數學難題，作者給他安排了一個浪漫的結局：走火入魔的彼得羅斯最後在解開難題的幻象中離開了人世。
5 斯蒂芬·斯梅爾
美國數學家史蒂文·斯梅爾（1930－）：
做出了重大突破（據他自己說，是在巴西海灘上度假時想到的），他證明了在五維及以上空間中龐加萊猜想成立。
可能你會覺得奇怪，爲什麼五維及以上還更容易證明一些？三維的龐加萊猜想有一個難點，通俗點說是這樣的：收回繩圈的過程中，繩子會打結，數學家就是在處理這些“結”的時候進行不下去。而在五維及以上空間中，這些“結”反而不存在。
其實不難理解，可以看看過山車，很顯然三維中的過山車是不可能打結的，但是它在地面的陰影卻是交叉打結的：
事實也是如此，史蒂文·斯梅爾只用了三頁紙就證明了五維及以上空間中的龐加萊猜想。不過斯梅爾教授證明出了高維的龐加萊猜想後並沒有繼續糾纏，一如既往的隨心生活着。
6 幾何化猜想
另外一位美國數學家威廉·瑟斯頓（1946－2012）：
他另闢蹊徑，給出一個“幾何化猜想”。這個猜想說的是，宇宙的形狀不論有多古怪，一定由以下八種基本拓撲形狀構成：
接着他證明了，這八種基本拓撲圖形除了“球形”之外，別的形狀都會阻止繩圈的收回：
那麼如果證明了“幾何化猜想”，“龐加萊猜想”就是直接的推論。實際上“幾何化猜想”是更基礎、更宏大的數學猜想。瑟斯頓教授作爲當時最有希望證明出“幾何化猜想”的人，卻放棄了繼續證明轉向了數學教育工作。他給出的理由是，要是證明出來了，年輕人就沒有奮鬥的動力了。
7 佩雷爾曼
2002年的秋天，一些數學家收到一封電子郵件，大致內容是說電子郵件的發送人在論文網站arXiv.org張貼了一篇編號爲math.DG/0211159的論文，論文是關於“幾何化猜想”的證明（也就相當於證明了龐加萊猜想）。
每年有不少研究者會冒出來說自己證明了龐加萊猜想，數學家的反映一般是（懶得去驗證，這種證明很難出現民間高手）：
但是這次不一樣，很多這個方向的研究者看到這位發郵件者的名字有點慌神了，因爲他是格里戈裏·佩雷爾曼（1966－）：
這是一位真正的高手，年少成名，1982年16歲的他就代表前蘇聯參加了國際數學奧林匹克競賽，以滿分的成績獲得金獎。據當時帶隊的老師回憶，佩雷爾曼解題速度非常快，並且別人需要好幾頁才能解出來的，他只需要幾行。在奧林匹克這樣的高水平的、激烈的賽事中，這就意味着橫溢的才華。
在這些競賽中，似乎佩雷爾曼從未遇到過難題，所以可能那時候他就立下夢想：總有一天，要解出誰人都無法解答的問題。1994年他證明了超級難題“靈魂猜想”，僅用了三頁紙就解決了這個過去22年間讓無數人鎩羽而歸的問題。
數學家知道佩雷爾曼的分量，不得不仔細掂量這篇論文，可是很尷尬地發現看不懂，也挑不出錯誤，於是邀請本人到美國召開特別講座。
論文發表的第二年，也就是2003年4月，佩雷爾曼在紐約舉行了講座。大家驚異地發現證明過程不是通過拓撲學進行的，而是用老舊的微分幾何（也就是我們熟悉的包含長度、座標、角度等要素的幾何）、物理中的熱力學等來證明的，這對於拓撲學家是相當大的打擊：
在座的許多數學家都把自己的精力傾注在龐加萊猜想上，當看到證明已近完成的時候，他們會很沮喪；而當他們瞭解到這種證明中沒有使用拓撲學的時候，沮喪更上一層；到最後他們發現自己竟然理解不了這個證明，這讓他們更加萬分沮喪。----參加講座的約翰·摩根博士
兩年後，三個數學小組終於可以確定這篇論文是正確的。2006年，四年一度的數學最高獎項菲爾茲獎決定頒發給佩雷爾曼，克雷數學研究所也拿出了一百萬美金。但是佩雷爾曼拒絕了菲爾茲獎，也拒絕了一百萬美金，就彷彿從來沒有出現過一樣，消失在了公衆面前。
佩雷爾曼生活並不寬裕，基本上屬於在麪包店看到“買一送一”纔會購買的那種經濟狀況。就是這樣的他拒絕了這至高的榮譽和一百萬美金，在常人看來非常難以理解，更爲龐加萊猜想的證明平添了傳奇色彩。
找到佩雷爾曼的行蹤本身就是一個難題，在俄羅斯，“尋找佩雷爾曼”成了一句俗語，表示行蹤飄渺的意思。所以媒體從來沒有機會採訪到他，因爲沒有在公衆面前發聲，所以他爲什麼這麼做也成了謎題。
8 宇宙的形狀
龐加萊猜想雖然證明了，但沒有那個繩圈我們還是不知道宇宙的形狀。
根據最新的觀測，科學家們相信宇宙是一個平面，可是誰知道呢？幾百年以前，我們不是以爲地球也是平的嗎？
本文全部內容基本上來自於日本NH在2008年拍攝的紀錄片：龐加萊猜想的魔咒。
本文的最新版本在：追尋宇宙的形狀----龐加萊猜想