P4213 【模板】杜教篩（Sum） 題解

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前置知識：

莫比烏斯反演，線性篩，狄利克雷卷積，整除分塊。

簡要題意：

$T$ 組詢問，求：

$\sum_{i=1}^n \mu_i$

$\sum_{i=1}^n \phi_i$

其中，$T \leq 10$，$n < 2^{31}$.

首先，你需要知道這道題目的 $O(Tn \sqrt{n})$ 算法，$O(Tn)$ 算法，$O(T+n)$ 算法。

顯然，$O(Tn \sqrt{n})$ 是暴力，$O(Tn)$ 是一個個篩，$O(T+n)$ 是預處理 線性篩，一個都無法通過。

這題的瓶頸在於，我們 並不需要一個個求出 $\mu$ 和 $\phi$，可以不拘泥於此。

想想：我們之前求 $\sum_{i=1}^n \lfloor \frac{n}{i} \rfloor$ 的時候，之前手玩 莫比烏斯反演 的時候，甚至有一次玩到 $6$ 個 $\sum$ 還是一一解決了。走過這麼多困難，切掉了這麼多紫題，這一題怎麼就不行了呢？

事實告訴人們，題目從來都是人做出來的。

我們考慮幾個簡單的卷積：

$\mu * \text{I} = ϵ , \phi * \text{I} = \text{Id} , \mu * \text{Id} = \phi$

好，根據這些，我們開始了偉大的探索。

假設我們要求一個 積性函數 $f$，可以先不直接求，搞出另一個 $g$，首先考慮怎麼求出 $f * g$ 的前綴和，那樣就可以求出 $\sum_f$.

根據 莫比烏斯反演 的性質可得：

$\sum_{i=1}^n (f*g) (i)$

$= \sum_{i=1}^n \sum_{d|i} f(d) \times g(\frac{i}{d})$

$= \sum_{d=1}^n g(d) \times \sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor} f(i)$

假設 $f$ 的前綴和爲 $S$，則：

$= \sum_{d=1}^n g(d) S(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor)$

現在我們要求的是 $S(n)$.

$g(1) S(n) = \sum_{d=1}^n g(d) S(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor) - \sum_{d=2}^n g(d) S(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor)$

顯然，因爲 $g(1) S(n)$ 是 $d=1$ 的答案，考慮前綴和相減即可。

此時可以得到：

$g(1) S(n) = \sum_{d=1}^n (f * g) (d) - \sum_{d=2}^n g(d) S(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor)$

那麼顯然：

$S(n) = \frac{\sum_{d=1}^n (f * g) (d) - \sum_{d=2}^n g(d) S(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor)}{g(1)}$

此時你會說了，好，這個式子怎麼求呢？

這個式子確實難求，但關鍵是，$g$ 函數是我們自己定的，我們可以定一個 $g$ 使得 $g$ 和 $f*g$ 的前綴和都非常好算。

好算？聯繫積性函數的性質，我們想到了：$\text{I}$ 和 $ϵ$ 都是積性函數，前綴和也非常的簡單。後面一堆我們可以整除分塊。

先不管怎麼定 $g$，僞代碼大概長這樣：

inline ll sieve(ll n) {
	ll ans=calc(n); //calc(i) 負責計算 (f*g)(i)
	for(ll i=2,r;i<=n;i=r+1) {
		r=(n/(n/i));
		ans-=(sum(r) - sum(i-1)) * sieve(n/i); //sum(i) 計算 g 的前綴和
	} return ans;
}

顯然你會發現，這裏有遞歸部分。

遞歸？這東西，顯然會把很多東西重複計算。

因此我們需要 記憶化。

到這裏，杜教篩 的樣子漸成，我們已經得到了其中的 $60 \%$.

下面的難點在於確定 $g$.

入手題目。

$f = \phi$，令 $g = \text{I}$，則 $f * g = \text{Id}$，此時可以解決。

$f = \mu$，令 $g = \text{I}$，則 $f * g = ϵ$，此時也可以解決。

好了，現在的問題在於，這東西的時間複雜度如何？

你發現無法通過，因爲，杜教篩必須要初始化一部分數據。

假設我們將 $n \leq k$ 的情況的答案都初始化一遍。那麼，經過分析（具體證明） 可得，這樣的時間複雜度是：

$O(k + \frac{n}{\sqrt{k}})$

你會發現，只要 $O(k)$ 不出問題，$k$ 越大越好。

顯然，$k$ 和 $\frac{n}{\sqrt{k}}$ 成反比，相等時和最小。（反比例函數知識）

所以，$k=n^{\frac{2}{3}}$ 時，時間複雜度達到 $O(n^{\frac{2}{3}})$，是比較優的。

時間複雜度： $O(Tn^{\frac{2}{3}})$.

實際得分：$100pts$.

博主的代碼太醜，不想拿出來了。以後會重構代碼發出來的。