rank(A)+rank(NULL)=n

UTF8gbsn

null space

什麼叫矩陣的NULL space?

$Ax=0$, 那麼$x\in$ NULL space of row vectors of A.
我們把它明明爲null.那麼接下來我們看看一些結論.

$rank(A)+rank(null)= n$

其中n是A的行向量的含有的元素個數.

null空間證明

我們在這裏要來證明null是一個空間.

• $0 \in null$.

• 如果$\alpha\in null$,那麼 $a\alpha \in null$

• 如果$\alpha,\beta \in null$,那麼 $a+\beta\in null$

由此可見null是一個向量空間.

注意: A的所有行向量張成一個向量空間.

證明

1. 設A的行向量空間的維度爲k,而設它的一組極大線性無關組爲
   $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_k$

2. 我們擴展這組極大線性無關組.是它的維度爲n,也就是A的行向量的元素個數.
   $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_k,\eta_{k+1},\cdots, \eta_n$

3. 我們現在可以改寫A的形式了 $A=\left( \begin{array}{c} \alpha_{11}\eta_1+\alpha_{12}\eta_2+\cdots+\alpha_{1k}\eta_k \\ \alpha_{21}\eta_1+\alpha_{22}\eta_2+\cdots+\alpha_{2k}\eta_k \\ \vdots\\ \alpha_{m1}\eta_1+\alpha_{m2}\eta_2+\cdots\alpha_{mk}\eta_k \end{array} \right)$

4. 由此可見,只要$c\in \left( \eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_k \right)$張成的空間,那麼$Ac \neq 0$.

5. 另外只要,$b\in \left( \eta_{k+1}, \eta_{k_2}, \cdots, \eta_n \right)$張成的空間,那麼$Ab = 0$

6. 現在要來證明$null$和$\left( \eta_{k+1}, \eta_{k+2}, \cdots, \eta_n \right)$相等.

   • 你可以很容易的證明
     $\left( \eta_{k+1}, \eta_{k+2}, \cdots, \eta_n \right) \subseteq null$

   • 由於$\left( \eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n \right)$張成真個n維空間.我們來看看$\gamma \notin \left( \eta_{k+1}, \eta_{k+2}, \cdots, \eta_n \right)$.

     1. 我們先來看看,$\gamma$位於哪裏?我們第一感覺是,第一種可能$\gamma\in \left( \eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_k \right)$.屬於這個空間的$\gamma \Rightarrow A\gamma\neq 0$

     2. $\gamma$還可能屬於哪個空間?首先要注意.
        $\left( \eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_k \right)$ 加上
        $\left( \eta_{k+1}, \eta_{k+2}, \cdots, \eta_n \right)$
        不等於整個n維空間.其中有一部分向量是需要各自用到這兩個空間中的向量才能表示.在這裏面的向量至少可以找到不等於0的$\sigma,\lambda$
        使得
        $\gamma = \sigma \eta_i + \lambda \eta_j + \eta_{d_1}+\eta_{d_2}+\cdots+\eta_{d_s}$
        但是,這裏面的$\gamma$使得$A\gamma\ne 0$,這個區域並不構成一個向量空間.但是裏面確實含有不少向量是不屬於null也不屬於A的行向量空間的.

     3. 由此可見只要$A\gamma=0 \Rightarrow \gamma\in \left( \eta_{k+1}, \eta_{k+2}, \cdots, \eta_n \right)$

   由此可見$null \in \left( \eta_{k+1}, \eta_{k+2}, \cdots, \eta_n \right)$

7. 最終可以得出結論.

   $rank(A)+rank(null)= n$