初等數論 2.7 乘性函數

定義：定義在所有正整數上的函數稱爲算術函數.
定義：若算術函數對任意兩個互素的正整數$n$和$m$，均有$f(mn)=f(m)\cdot f(n)$，則稱$f$爲乘性函數.若對$\forall m,n\in\Z^+$，均有$f(mn)=f(m)\cdot f(n)$，則稱$f$爲完全乘性函數.
定理：若$f$是一個乘性函數，且對$\forall n\in\Z^+$，有標準分解：$n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_s^{a_s}$，則$f(n)=f(p_1^{a_1})f(p_2^{a_2})\cdots f(p_s^{a_s})$.
定理：設$p$是素數，$a\in\Z^+$，則$\phi(p^a)=p^a-p^{a-1}$.
定理：設$2<n\in\Z^+$，則$\phi(n)$是偶數.
定義：設$f$是一個算術函數，則$\displaystyle F(n)=\sum_{d\mid n}{f(d)}$代表$f$在$n$的所有正因子處值的和，稱$F$爲$f$的和函數.
定理：設$n\in\Z^+$，則$\displaystyle \sum_{d\mid n}{\phi(d)}=n$.
定義：Dirichlet積：設$f,g$是算術函數，定義$f$與$g$的Dirichlet積爲$\displaystyle (f\ast g)(n)=\sum_{d\mid n}{f(d)g(\dfrac{n}{d})}$.
定理：Dirichlet積滿足交換律和結合律.
定義：Liouville函數：$\displaystyle \lambda(n)=\begin{cases} 1 \quad n=1 \\ (-1)^{\sum_{i=1}^{m}{a_i}} \quad n>1 \end{cases}$其中$n$的標準分解爲$n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_m^{a_m}$.
定義：若對$\forall m,n\in\Z^+，(m,n)=1$，滿足$f(mn)=f(m)+f(n)$，則稱$f$爲加性函數.若對$\forall m,n\in\Z^+$滿足$f(mn)=f(m)+f(n)$，則稱$f$爲完全加性函數.
定理：因子個數$d(n)$和因子和函數$S(n)$是乘性函數.
定義：Möbius函數：$\displaystyle \mu(n)=\begin{cases} 1 \quad n=1 \\ (-1)^r \quad n=p_1p_2\cdots p_r,其中p_i(1\le i \le r)兩兩不同 \\ 0 \quad 其它情形 \end{cases}$
定理：Möbius函數是乘性函數.
定理：Möbius函數的和函數$\displaystyle F(n)=\sum_{d\mid n}{\mu(d)}=\begin{cases} 1 \quad n=1 \\ 0 \quad n>1 \end{cases}$記爲$\iota$函數.
定理：Möbius反演公式：若$f$是算術函數，$F$爲$f$的和函數，對$\displaystyle \forall n\in\Z^+,F(n)=\sum_{d\mid n}{f(d)}$，則$\displaystyle f(n)=\sum_{d\mid n}{\mu(d)F(\dfrac{n}{d})}$.
推論：設$f$是算術函數，和函數爲$F$.若$F$是乘性函數，則$f$是乘性函數.