初等數論 1.4 Fibonacci數列

定義：Fibonacci數列：$f_1=1,f_2=1$，且對$n\ge3$，$f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$

約定：$f_0=0$.

推論：Fibonacci數$f_n=\dfrac{({\dfrac{1+\sqrt 5}{2})^{n}}-{(\dfrac{1-\sqrt 5}{2})^{n}}}{\sqrt 5}$
定理：Fibonacci數列的一些性質：$f_{2n}=f_{n}^{2}+2f_{n-1}f_n$ $f_{n-2}+f_{n+2}=3f_{n}$ $f_{n+1}f_{n-1}-f_{n}^{2}=(-1)^{n}$ $f_{m+n}=f_{m}f_{n+1}+f_{n}f_{m-1}$ $\sum_{k=1}^{n}{f_{k}}=f_{n+2}-1$ $\sum_{k=1}^{n}{f_{2k-1}}=f_{2n}-f_{2}+f_{1}$ $\sum_{k=1}^{n}{f_{2n}}=f_{2n+1}-f_{1}$ $\sum_{k=1}^{n}{f_{k}^{2}}=f_{n}f_{n+1}$ $\sum_{k=1}^{2n-1}{f_{k}f_{k+1}=f_{2n}^{2}}$
定義：黃金分割比（Golden ratio）$\varphi\coloneqq\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\dfrac{F_{n+1}}{F_n}}=\dfrac{1+\sqrt5}{2}$

定義：Lucas數列：$L_1=1,L_2=3$，且對$n\ge3$，$L_n=L_{n-1}+L_{n-2}$
$L_n=(\dfrac{1+\sqrt 5}{2})^{n}-(\dfrac{1-\sqrt 5}{2})^{n}$
Lucas數列也具有Fibonacci數列類似的性質.

定理：Zeckendorf表示：對於任意$n\in\N$，存在唯一的一組Fibonacci子列，使得$n=\displaystyle\sum_{i=0}^{k}{F_{c_i}}$，其中$c_i\ge2,c_{i+1}>c_i+1$
定義：廣義Fibonacci數列：$g_1=a,g_2=b$，且對$n\ge3$，$g_n=g_{n-1}+g_{n-2}$

$g_n=af_{n-2}+bf_{n-1}\quad n\ge3$

當$n$爲負整數時，遞歸定義Fibonacci數$f_{n-2}\coloneqq f_{n}-f_{n-1}$

$f_{-n}={(-1)}^{n+1}f_n$